Философские диалоги I

 

Михаил. «Основной вопрос»? Это очень уж отдаёт школьными прописями прошлого века, вышедшими из ещё более ранней борьбы с Гегелем. Единство философии не обязано иметь такую основу, если вообще можно говорить об этом единстве.

Фёдор. Но когда собирают из чего-то историю философию, то вроде бы отбирают материал по каким-то принципам!

Михаил. Так-то оно так, но и здесь нет полного единодушия. А разные времена вообще составляют разные подборки. Давно ли физика, то есть наука о природе считалась частью философии? Впрочем, не попросить ли нам Илью высказаться по этому вопросу? Он ведь много занимался историей философии.

Илья. Боюсь разочаровать вас. Правда, я представляю себе отдельные периоды, но проследить что-либо одно по всему протяжению мысли пока не представляется возможным.

Фёдор. А что мешает нам разделить задачу по этапам, культурам и временам. Может, в конце удастся всё свести к общему итогу.

Михаил. Не слишком ли грандиозная задача?

Жанна. Меня это не страшит. Мужчин не должно страшить тем более.

Михаил. Что ж! Можно попробовать. Как ты, Илюша?

Илья. Присоединяюсь, хотя и без большого оптимизма.

Фёдор. Тебе придётся начинать.

Илья. Для ранней греческой «физиологии» центральным был вопрос о «Начале» - что властвует Вселенной или космосом, который представлялся ограниченной частью безграничной Вселенной. Поскольку Начало порождало и уничтожало (вернее, вбирало в себя) порождаемое, то Аристотель истолковал Начало в своём духе как «материю» мира, но это было суженным пониманием. Но с Сократа на первое место выходит вопрос о Благе и продолжает занимать это первое место вплоть до пробуждения религиозных устремлений в конце тысячелетия. Только у Аристотеля общий интерес к устройству мира конкурирует с Благом.

Правда, можно назвать вопрос, который проходит через всю эту историю, не всегда занимая в ней первое место. Это вопрос о вечном и преходящем.

Хотите поговорить о нём?

Михаил. Да уж конечно. Сам-то вопрос вечен.

Илья. Мне сдаётся, что он был всегда. Но первая дошедшая до нас формула принадлежит Ксенофану. Она пересказывается так: «Всё рождённое должно умереть».  Ксенофан допускал при этом только одну бессмертную сущность – Божество, совпадавшее со всей Вселенной. Оно-то и было для него Началом.

Начала вообще считались вечными. Может быть, Вода – фалесовское начало и не освещалось им с этой стороны, но начало Анаксимандра – Беспредельное Время-Пространство, равно, как и то, что за этим последовало – Предел и Беспредельное Пифагора, Беспредельный Воздух Анаксимена, а потом Начала «философии Мнения» Парменида, начала Гиппаса, Эмпедокла и Анаксагора все были вечны.

Фёдор. Но, кажется, уже Пифагора такая вечность не устраивала. Ему хотелось, чтобы не только Предел, но и плоды его работы становились вечными, хотя он и вынужден признать их смертность, вполне соответствующую тезису Ксенофана.

Жанна. Следует, наверное, разделить два вида вечности – вечность чего-то внутри мира и вечность чего-то, имеющего дело со всем мирозданием. Ведь старинные Начала именно таковы.

Во всяком случае, какую-то разделительную черту нужно провести. Иначе легко запутаться. «Вы утверждаете, что нет ничего вечного и всё меняется?» - «Да» - «И это всегда так?» - «Всегда так» - «То есть само утверждение вечно?».

Жанна. Значит, нужно чем-то ограничиться. Ксенофан ограничивался «рождённым», но этого всё-таки мало. Или достаточно? Но мы априорно не знаем, что, представляющееся нам вечным, рождено, а что не рождено.

Фёдор. Если мы уж втягиваемся в такую дискуссию, то не проще ли, не проводя разделения в начале, просто перечислять возможные виды сущих и обсуждать их по порядку?

Илья. Принимаю. По-моему это соответствует истории.

Михаил. Я - за.

Жанна. Я тоже. Илюша, тебе вести как историку.

Фёдор. Так начнём с самого броского – с тел. Греческая философия, верно, до мегарцев и Платона была философией телесного. Телесными были и Начала. Они, как я уже упоминал, были вечны. Но конечные тела, рождённые Началом или созданные им, вечными не были. К ним-то в первую очередь и относится тезис Ксенофана. Вечные тела появляются ближе к концу «физиологии», причём в трёх разных формах у трёх великих мыслителей – у Парменида, вызвавшего всё движение, у Анаксагора и у Левкиппа.

Фёдор. Нам, верно, и нужно их обсудить. Сформулируй сам краткие резюме.

Илья. От Парменида идёт идея «элементов». Она осталась надолго, восходя, правда, к форме, которую дал ей Эмпедокл, будучи во многом изменена. У Эмпедокла четыре «Корня» - Земля, Вода, Воздух и Огонь (или Свет) вечны и неизменны. Все же тела во Вселенной (или в космосе) являются результатом их смешения. В смешении частички Корней остаются несмешанными.

Теория Анаксагора более утончена. Анаксагор, видимо, считал неудовлетворительным, как Эмпедокл объясняет качества вещей, которые мы называем «чувственными», хотя уместней было бы применять слово «ощущательный».

Жанна. Ну и давайте так говорить.

Илья. Принимаю. Анаксагор каждое такое качество считал связанным с конкретным вещным (теперь говорят, «материальным») носителем, веществом особого рода. Так предполагалось  красное, синее, сладкое вещество. В смешении веществ одного рода, скажем, относящихся к цвету, для нас проявляет себя преобладающее количественно.

Но Анаксагор шёл дальше. Его не устраивало смешение по Эмпедоклу. Кроме того, будучи геометром, он разработал теорию подобия и мыслил её физически, что означало следующее, дошедшее до нас в цитатах положение: в малом всё то же, что в большом. Оно означало, в частности, что в сколь угодно малом кусочке должны быть все качества, какие есть в макромире. Не кажется ли, что так Анаксагор приходит противоречию?

Фёдор. Как в частичке красного может поместиться жёлтое или пахнущее тмином?

Илья. Совершенно верно. И как же это мыслил Анаксагор?

Михаил. Возможны два варианта – либо два разных тела-качества могут занимать одно место, либо все они меньше любых конечных тел, говоря современным языком, являются бесконечно малыми.

Илья. Первая конструкция в другом контексте появится позднее у стоиков. Анаксагор принял второе решение. Постулированные бесконечно-малые «семена», как он назвал их, и являются вечными.

Левкипп ближе к Пармениду, хотя, конечно, все эти мыслители от Парменида зависят. Атомы – это признанное множественным парменидовское «Бытие». Они вечны и неделимы, поскольку исключают не-бытие. Последнее же окружает их как пустота.

Фёдор. Правильно ли я понимаю, что Парменид является истоком для всех этих вариантов?

Илья. Да уж конечно. «Истинная философия» Парменида фактически отрицала время. Это было ударом по самому мощному претенденту на трон Начала. Когда сам Парменид, а за ним и другие, только что перечисленные, стали разрабатывать более умеренные системы, не отрицавшие времени вообще, они, во всяком случае, не возвращали время на трон. Другим их общим делом было введение того, что вечно, что находится в мире и что не столько Начало, сколько строительный материал. Таковы Корни, «семена» и «неделимые». Я склонен думать, что следы их можно найти и в современном миропонимании.

Михаил. Физические законы сохранения! Впрочем, современная физика связана с современной же математикой, а смысл её понятий сам требует прояснения, хотя иногда и большие мыслители считают его кристально ясным. Впрочем, это относится скорее к эмпедокловой линии. Анаксагор изощрённей, но эта изощрённость как раз исключает возможности современного толкования. Оно должно быть связано с экспериментом, а как на опыте проверить сохранение бесконечно-малых? Атомизм же, похоже, может обсуждаться всерьёз и сейчас., хотя его обличие радикально изменилось.

Жанна. Ты  говоришь об элементарных частицах?

Михаил. О них. Они, проваливаясь, в какие-то чёрные дыры, становятся устойчивыми, но, когда они находятся в свободном состоянии, то совершенно непонятно, в каком смысле «есть» какая-нибудь частица. В бурных реакциях целый спектр их висит в возможных путях этих реакций, хотя относительно путей  инвариантны числа частиц, которые, впрочем, подсчитываются с учётом знаков – «противоположные» частицы сокращаются.

Но это описание далеко не адекватно. Мы скажем лучше, если будем говорить о последовательных измерениях числа частиц, которые всегда будут давать один и тот же результат, хотя нет никаких оснований считать частицы второго измерения теми же самыми, с какими мы имели дело в первом измерении.

Фёдор. В современной физике речь идёт о двух обстояниях, включающих в себя активный физический субъект и его действия.

Михаил. Это характерно для всей современной физики. Везде, где требуется разъяснить смысл физической теории, требуется примысливать человеческий субъект, проводящий опыты и измерения. То есть активный, вооружённый инструментами измерения субъект является непременной частью описания физических процессов.

Илья. Это очень в духе Бэкона, требовавшего активно вторгаться в природные процессы и направлять их по новым направлениям, чтобы открыть скрытые от нас формы, этими процессами правящие. Хотя вряд ли он согласился бы с тем, что мы сами окажемся необходимыми для описания этих скрытых форм.

Михаил. Тем не менее, это так. Любая физическая неизменность подтверждается экспериментом. А это значит, что человек – реальный или идеальный может проводить эксперименты в тождественных (в идеале) условиях.

Фёдор. Что, строго говоря, невозможно.

Михаил. Да, невозможно. Но заметьте, установление одного закона или, если хотите, одной вечности, требует выполнения вечности других законов. Нет поэтому начала для совокупности таких установлений. Мы всегда должны что-то предполагать. В мире уже есть постоянство, закономерность – как бы мы это ни называли, до того, как мы пытаемся её ввести.

Жанна. Поясни.

Михаил. Инструменты измерения предполагают такое постоянство. Нужно быть уверенным, например, что длина нашего измерителя длин не меняется со временем, не зависит от места измерения и от сопутствующей обстановки. Либо обстановка может и меняться, но тогда она должна характеризоваться параметрами, которые учитываются и позволяют подправить результат измерения.

Впрочем, сами измерения, если речь не идёт о квантовых явлениях,  дают не вещественные числа (отношения измеряемых величин к их стандартным «вечным» единицам). Теория же построена на вещественных числах. И здесь два вопроса – о расхождении теории и опыта и о толковании самих вещественных чисел.

Фёдор. Ну, а как, всё-таки, быть с вечностью физических законов, как бы мы их ни понимали?   Понимание – отдельная проблема.

Михаил. Сейчас многие из этих законов мы признаём вечными, но только, исходя их эмпирических оснований. Каждый из них может быть подвергнут пересмотру, хотя, как заметил Пирс, пересматривать нужно только тогда, когда к этому появились какие-то конкретные основания. Но в связи с эволюцией Вселенной не исключено что и вся совокупность мировых законов будет признана развивающейся, причём меняться будут и законы изменения всей совокупности.

Фёдор. Это чисто умозрительно?

Михаил. Да.

Фёдор. Ну что ж? С физикой далеко не всё ясно, но к чему-то мы пришли. Однако с древних времён признавалась вечность отвлечённых вещей. Что сейчас можно сказать по этому поводу?

Жанна. Но мне бы сначала хотелось попытаться ответить на вопрос, который здесь прозвучал ранее. Ответ на него был отложен.

Фёдор. Вечность чего не вызывает возражений?

Жанна. Вот именно. Мне кажется, недоумение возникает, когда думаешь об упорядоченном, построенном, сформированном, а вечность беспорядочного, хаотического и бесформенного человек более склонен считать естественной. 

Фёдор. Но в чистом виде то, о чём ты говоришь, - это гесиодов Хаос. Более поздние Начала уже имеют какой-то конкретный облик.

Жанна. Эта конкретность отходит на второй план перед беспредельностью. Собственно говоря, речь идёт о конкретности Беспредельного времени-пространства или о конкретности самого начала предельности. Оба стоят на грани между оформленным и бесформенным. В них есть определённость, делающая их предметом мысли, а не мифа,  но есть и неопределённость, побуждающая принимать их вечность.

Фёдор. Что ж, примем. Теперь уже пора послушать Мишу, если он не откажется от слова.

Михаил. Ты хочешь обсуждать древнюю проблему. С особой остротой она была сформулирована Расселом в его утверждении, что знающие, что сказать, математики, не понимают, о чём они говорят. В Греции математические сущности (назовём их так) то вкладывались в действительность, то воспаряли над ней, причём во втором случае статус их был не ясен. Платон помещал их между реальностью и эйдосами. У Прокла геометрические предметы существуют в воображении, что тоже заставляет думать о промежуточности.

Но до девятнадцатого века основными предметами математики признавались числовые и геометрические. Трезвый материалистический век, однако, гигантски расширил сферу математического. Достаточно назвать канторову теорию множеств, понятие вещественного числа, неэвклидовы, а затем и римновы геометрии. Вот тогда-то с новой силой встала старая проблема понимания природы и бытия математического.

Теория множеств после её аксиоматизации Цермело и Френкелем вобрала в себя всю предшествующую математику. Геометрия после её аксиоматизации Гильбертом тоже вошла в теорию множеств. Осталась, конечно, проблема реальной геометрии, но это ощущалось уже как задача физики. Мы оставим её в стороне.

Что же касается теории множеств в полном или ограниченном объёме, то вопрос стоял так: можем ли мы понять её как-то реально, т.е. можем ли мы истолковать её, если в не реальном мире, то хотя бы в чём-то не совсем с ним порвавшем. Я думаю, что этот вопрос остался и на сей день, когда уже более чем столетие прошло с поры горячей активности в основаниях математики.

Великий Фреге отталкивался от некоторого логического абстрактного мира мыслившегося как некоторая абстрактная и вечная сфера бытия. Объектами этого мира были на только замкнутые предложения, как это было уже о Больцано, но и свойства и предикаты. Интересно, что предикаты Фреге осознал, отталкиваясь от многоместных функций, - математические объекты изначально были ему ближе. Вот абстрактный мир предикатов по мысли Фреге и должен был стать тем фундаментом, на котором можно было воздвигнуть здание математики. Сам Фреге сделал первый шаг в этом направлении, попытавшись определить натуральные числа и построить арифметику. Общеизвестна ошибка, содержавшаяся в конструкции Фреге – система оказывалась противоречивой в виду парадокса Рассела.

Рассел и Уайтхед в знаменитых «Principia Mathematica» попытались выполнить программу Фреге, но один из основных моментов в замысле Фреге, - логическое определение бесконечности, - был потерян. Необходимо постулировать бесконечность.

История на этом не закончилась. Замечу, что в любом варианте логицизм (так называется направление) требует признания вечного логического царства. И это царство включает в себя не только средства преобразования предложений и предикатов («связки» и кванторы, в первую очередь), но и сами «логические» предложения. Оставим пока его в покое и обратимся к другим попыткам понять математику.

В логицизме проблемы языков и их структуры занимали важное место (язык Principia Mathematica построен древовидным образом), но сами математические предметы предполагались существующими, хотя природа их прояснялась только в итоге самого исследования. Противоположную позицию занял Гильберт.

По Гильберту нас в первую очередь должна интересовать непротиворечивость математической теории. Когда мы говорим о каком-то бытии её объектов, то в это вкладывается именно непротиворечивость и ничего более. Задача философа математики (сейчас говорят «метаматематика») уметь показывать такую непротиворечивость.

Гильберт предложил такой подход к проблеме непротиворечивости. Теория формализуется. Вывод в формализованной теории мы рассматриваем как некоторого рода оперирование с символами и их комбинациями. При таком оперирование мы всегда имеем дело только с конечными объектами. Поэтому – по Гильберту – резонно предположить, что какими-то элементарными средствами можно в случае здоровой теории доказать, что в результате оперирования не может получиться вывода противоречия. Задача проделать это для таких ведущих теорий как арифметика, анализ разных порядков и теория множеств и составила знаменитую программу Гильберта.

Несколько слов о допустимых этой программой методов рассуждения.

Гильберт говорит о «финитистских» рассуждениях. То есть эти рассуждения близки к рассуждениям о конечных множествах. Точного описания их не давалось, да, видимо, это считается и невозможным. Индукция применяется, но желательно к предикатам не сложным. Когда такая индукция оказалась недостаточной, то стали применять индукцию до некоторых трансфинитных ординалов.

Этим нововведениям предшествовали знаменитые открытия Гёделя. Из одного из них, его «второй теоремы» следовало, что для доказательства непротиворечивости содержательных формализованных систем следовало применить средства, не содержащиеся в самой формализации. Первоначальные «финитистские» средства охватывались формализацией арифметики, отсюда и поиск новых средств, начатый замечательным логиком Генценом. В настоящее время арсенал этих средств достаточно широк, и, опираясь на них, можно показать непротиворечивость достаточно мощных теоретико-множественных систем, но вряд ли эти средства можно именовать финитистскими.

Фёдор. Я готов признать величие программы Гильберта, но должен сказать, что философски она меня не удовлетворяет. Непротиворечивость – гарантия осмысленности работы математика. Было бы неприятно, если бы, потратив массу энергии и изобретательности на выявление какой-то структуры, математик вдруг узнавал, что эту структуру можно также разрушить с помощью альтернативной работы. Но, возвращаясь к процитированному тобой, Миша, высказыванию Рассела, важно не только знать, что говорится о математических предметах, но понимать, что они собой представляют, а одна непротиворечивость об этом ещё ничего не говорит.

Рискну сформулировать проблему по-другому. Непротиворечивость говорит, что можно полагаться на оперативный смысл конкретных математических понятий, но ничего не говорит об их предметности. Применённая мною пара слов, по-видимому, пригодна в этом случае, потому что речь идёт о вечных предметах.

Илья. А ты считаешь, что предметность обязательна для понимания?

Илья. Она, во всяком случае, желательна. Если мы достигли её, то у нас есть инстанция, к которой можно обратиться в случае сомнения. Конкретное понимание может исходить из того или другого смысла предмета или темы, и в этом заключается и плодотворность особого видения, и опасность односторонности и частичности. Предметность должна давать тему целиком. Я говорю «должна давать», а не «даёт», потому что всё-таки её наличие проблематично. Тем не менее, предметность – тема исследования.

Жанна. Но где нужно искать предметность математических сущностей, не хочешь ли ты обратиться к реальному миру во времени и пространстве?

Илья. Что-то подобное пытались сделать пифагорейцы в отношении арифметики, а позднее Аристотель в отношении геометрии, но эти попытки следует признать неудовлетворительными. Как понимать пифагорейскую теорему, что сумма произвольного числа чётных чисел чётна, если чисел вообще конечное число? Её реальному смыслу явно не хватает полноты. Что касается Аристотеля, то в его теории есть дефекты и частного и общего порядка. Первые связаны с его принятием конечности Вселенной. Аристотель считал, что для формулировки любого геометрического факта достаточно конечного пространства, потому что с помощью подобия всегда можно сократить размеры. Однако, что такое в конечном пространстве параллельные отрезки? Чтобы их определить, пришлось бы говорить примерно так: «Это такие отрезки, что при любом подобном  сокращении куска пространства с ними и последующем их продолжении на всё имеющееся пространство они не пересекутся». По-моему такая конструкция противоречит аристотелевскому финитизму.

Михаил. Во всяком случае, определение параллелизма получается, хоть и неудобное. И не очень прозрачным становится при этом пятый постулат.

Илья. Второй недостаток следующий. В реальном мире нет идеальных вещей. В геометрии де нужны как точки, линии, поверхности вообще, так и прямые линии, плоскости, круги и сферы, в частности. С первым классом Аристотель справлялся, определяя поверхности, например, как границы тел, и настаивая на реальности этих границ. Но для признания реальности прямолинейных отрезков, кругов, сфер требовались дополнительные физические предположения. Некоторые из них мы действительно обнаруживаем в Аристотелевой физике. Это – прямолинейность естественного движения четырёх «стихий» и круговое движение пятой, а также шарообразность небесных сфер. Но в другой физике это всё отпадает.

Фёдор. Кажется, что если мы хотим связать математику с физической реальностью, то без идеализаций нам не обойтись.

Михаил. Да, идеализация нужна, хотя одной идеализации объектов и не хватит. Требуется также идеализация субъекта, оперирующего с этими объектами.

Фёдор. Расскажешь подробнее?

Михаил. Охотно. Нет возражений?

Жанна.  Мне интересно.

Илья. Мне тоже.

Михаил. Что же? Тогда слушайте.

То, что я буду рассказывать – это подход к построению математики основателя интуиционизма Брауэра, но с некоторыми переосмыслениями и видоизменениями, позволяющими расширить теорию.

На первом месте будет стоять построение арифметики, т.е. система натуральных чисел и так называемый принцип математической индукции.

Илья. Термин неудачен, если иметь в виду его происхождение. «Индукция» - калька греческого слова, которое означает «наведение». Аристотель, его ввёдший, ссылался на Демокрита и Сократа как первооткрывателей метода. Но по сути дела речь идёт о нашей догадке об общем положении, возникшей на основе изучения частных случаев. Догадка у самого Аристотеля становится знанием только после того, как загадочный «деятельный» ум вкладывает в пассивный ум человека знание нужного эйдоса (обычно, вида). В математике же заключение принципа индукции является знанием само по себе и не требует помощи деятельного ума.

Михаил. Твоё замечание справедливо, но мне не приходит в голову более подходящего названия принципа, так что, с вашего позволения, я буду пользоваться традиционным.

Представим себе вечного субъекта, жизнь или существование которого может продлиться сколь угодно долго. Субъект вполне телесен, может передвигаться по миру и может обращаться с материальными вещами так, как это свойственно нам. Запасы вещества, находящиеся в его распоряжении либо безграничны, либо субъект может отделять сколь угодно малые кусочки этого вещества, причём он вполне распознаёт их и умеет с ними обращаться.

Мир, в котором обитает наш герой, отличается от нашего мира только тем, что в нём есть подходящие нам зоны неприкосновенности, в которых вечно хранится то, что в них помещено. Таких зон должно быть опять же сколь угодно много. Впрочем, участки пространства (или мира) могут быть такими зонами только потенциально. Субъект объявляет какую-то зону неприкосновенной, помещает что-то в неё, и это что-то (индивидуальные куски вещества) сохраняется в ней, не меняясь, пока субъекту не вздумается что-то переиначить.

Вот таковы предположения, и я склонен считать их возможными.

Илья. Аристотель в одном месте «Метафизики» говорит о возможности безграничного (апейрона), хотя, разумеется, такая возможность радикально отличается от определённых возможностей материи, то есть возможностей принять ту или иную форму. Извини, что прерываю.

Михаил. Не о чем говорить…

Так вот, запасшись такими возможностями, мы можем построить арифметику, которая не будет отличаться от брауэровской.

Числа, которые мы (точнее, идеальное вечное Я) строим, - это материальные объекты, отличающиеся друг от друга и помещаемые на вечное хранение в заповедные неприкасаемые части пространства. Можно эти объекты создавать в виде известных числовых кодов по образцу десятичной или же двоичной системы счисления. Процесс построения чисел, разумеется, не может быть закончен, но он в любой момент может быть продолжен так далеко, как угодно. Эти построяемые объекты и будут предметом изучения, называемого системой натуральных чисел.

Жанна. Но ведь однозначности здесь нет.

Михаил. Это не мешает арифметике. В классической математике введено понятие изоморфизма, т.е. одинаковости  структуры. В нашу структуру, кроме самих чисел, входит указание первого числа (технически удобно считать его нулём) операция перехода от числа к следующему числу. То же самое будет верно для любого другого построения. Изоморфизм двух таких конструкций описывается следующим образом.

Первые построенные числа («нули») считаются соответствующими друг другу. Если два числа в двух построениях соответствуют друг другу, то следующие построенные числа в этих построениях  также объявляются соответствующими друг другу. В классической математике производится отождествление («склеивание») различных натуральных рядов в один ряд, так что класс всех нулей, т.е. нулей всех рядов) объявляется собственно нулем, класс всех единиц – собственно единицей и т.д., но мы воздержимся от этого, желая избежать затруднений понимания.

Фёдор. Что ты имеешь в виду?

Михаил. Логически могла бы возникнуть трудность, если в наши отождествляемые ряды вообще включались множества, построенные как ряд натуральных чисел. Тогда, например, нуль завершающего, «глобального» натурального ряда должен содержать сам себя в качестве элемента, что, может быть, и не приводит к противоречию, но создаёт трудности для понимания. Это нам вроде бы не грозит, потому что природа глобального ряда у нас другая, чем природа построяемых рядов. Но трудность неохватности собираемого в одну совокупность материала всё равно остаётся, так что лучше смириться с неопределённостью числа натуральных рядов, понимая тождество их структур и одинаковость их теорий.

Для таких рядов выполняется принцип математической индукции.

Фёдор. Что здесь имеется в виду? Мы можем доказать его или должны принять как недоказуемое, но представляющееся истинным положение?

Михаил. Мы можем в известном смысле доказать его.

Илья. Что значит «в известном смысле»? Я напомню, что Пуанкаре считал принцип индукции кантовским синтетическим априори и критиковал попытки его как-то обосновывать, полагая, что каждая такая попытка (логицистов или финитистов), применяла рассуждение, уже опиравшееся на индукцию, т.е. впадавшее в порочный круг.

Михаил. Попытайтесь найти этот порочный круг в рассуждении, которое будет предложено.

Пусть мы имеем деле с конкретным натуральным рядом, находящимся в процессе построения, и пусть P(n) – арифметический предикат, зависящий от единственного параметра n.

Жанна. Предикат не может ли говорить, скажем, о цвете букв?

Михаил. Чтобы такого не было, можно договориться о словаре. Мы включим в него константу 0 (ноль), одноместную функцию ‘ (последующее число) и равенство. Впрочем, для удобства можно расширить словарь какими-нибудь традиционными функциями и предикатами.

Пусть для этого предиката мы каким-то образом убедились в истинности P(0) и у нас есть общий метод, исходя из предположения об истинности P(n) обосновывать истинность P(n’). Попробуем доказать истинность P(n) при произвольном n.

Но давайте условимся о том, что мы будем в любом случае вкладывать в понятие импликации и в понятие  доказательства. Их смысл до известной степени будет конструктивным. Это выражается в следующем предположении. Доказанность какого-то утверждения фиксируется как некоторая материальная конструкция, смысл которой прочитывается по известным правилам. Если у нас доказаны положения A и A→B, то составление (тоже по некоторым правилам) конструкций для них в данном порядке даёт конструкцию доказательства для B.

Теперь следите за доказательством. Нам предстоит убедиться, что, если нам задано некоторое число n, то мы сможем построить доказательство для P(n). Число n мы можем считать построенным. Тогда построенными оказываются и все предыдущие числа. Пройдёмся по их кортежу от нуля до n, сопровождая каждый шаг построением доказательства как некоторой конструкции.  На нулевом шаге, т.е. на шаге построения ноля, мы строим конструкцию доказательства P(0). На любом из промежуточных шагов, скажем, на k-том шаге, мы будем в результате построения иметь конструкцию доказательства P(k).

В самом деле, для нулевого шага это уже справедливо. Мы строим доказательства для каждого P(n), где n≤k, параллельно уже завершённому построению чисел от 1 до n. Каждый раз мы дополняем построенную уже конструкцию для доказательства P(n-1) имеющейся в нашем распоряжении конструкцией для доказательства  P(n-1)→ P(n), что в совокупности даст нам доказательство P(n). В конце построения мы получим доказательство для P(k).

Жанна. А здесь нет порочного круга? Мы не применяем ли принцип индукции, когда идём от ноля до k?

Михаил. Но мы ведь не имеем там дела со всем бесконечным рядом, а только с его конечным отрезком, как бы находящимся в нашем распоряжении. Вообще же, поскольку рассуждение основано на оценке наших возможностей, оно не является математическим (арифметическим) доказательством. Оно имеет до-математический характер.

Фёдор. Но оно, можно сказать, фиктивно. Идеальных условий, о которых ты говорил в начале, нет. Можно ли обойтись без них, не в этом ли направлении шла всегда мысль Алека? Он именует своё понимание ультраинтуиционистом.

Михаил. Да, ты прав. В известном смысле то, к чему он всегда склонялся, можно назвать борьбой с идеальностью. Напомню парадоксальность утверждения самого Аристотеля об апейроне. «Возможное, которое практически невозможно». Алек и объявил войну практически невозможному, разоблачая его как просто невозможное. Действительное противопоставляется идеальному. Нужно сказать, что работа написания новой математики, которой он посвятил более полувека, грандиозна. Но всё же разрешите мне высказать критические соображения.

Фёдор. О чём разговор?

Михаил. Ультраинтуиционизм при своих предположениях создаёт модели для очень мощных систем теории множеств. Но сам подход изначально обречён иметь дело с языковым выражением этих систем. У Алека такое выражение всегда неполно, поскольку сложность создания словесных выражений и работы с ними ограничена доступными мощностями. Это относится и к более простым системам – таким, как арифметика. Мы никак не можем добраться до самих математических предметов, так что всегда остаётся дефект гильбертовской программы.

Второй недостаток более специфичен. Фактически Алеку приходится постулировать натуральные ряды разной силы. Одни из них замкнуты относительно некоторых операций, другие же в них не определены; в других возникает более полная замкнутость. Но принимать эти предположения представляется слишком большой платой за отказ от той идеальности, которая позволяет понять арифметику и о которой я рассказывал.

Да мы ведь не знаем, как будет дальше развиваться теория множеств. Для оправдания новых её принципов (вроде принципа «измеримых алефов», который я сейчас не буду обсуждать) придётся вводить и новые гипотезы о ещё более мощных натуральных рядах. А что лучше – предположить бессмертие субъекта или заселённость реального мира (со смертными субъектами) зоопарком странных, не изоморфных друг другу в силу разной мощности натуральных рядов? Слово «натуральный» синонимично слову «естественный», но ряды этой семейки, похоже, противоестественны.

Фёдор. И, всё-таки, Алек стремится математику построить на деятельности реального, живого человека, и в этом его заслуга. Ну, а что даёт человек идеализированный и как он себя проявляет?

Михаил. Как это ни странно и, получив некоторую идеальность, наше Я сохраняет до известной степени свой эмпирический характер. С другой стороны, усвоенная доля идеальности делает его новым источником математической интуиции, в конечном счёте, источником нового математического знания.

Фёдор. Это новое знание тоже ведь имеет «условный» характер?

Михаил. Да, но новых условий не появляется.

Илья. Расскажешь?

Михаил. Охотно.

Новые принципы рождаются здесь из ограничений, остающихся у нашего идеального субъекта; из того, что называется его «конечностью». Идеальность ещё не делает субъекта всемогущим. Когда перед ним предстаёт некоторая бесконечность, то оперирование с ней выявляет границы субъекта, и эти границы-то и будут принципами.

Впрочем, сначала разберём ситуацию, когда мы, пожалуй, не в состоянии сформулировать что-то, превышающее очень правдоподобную догадку. Я имею в виду знаменитый «тезис Чёрча».

Рассмотрим функции, применимые к натуральным числам и дающие в результате вычисления тоже натуральные числа. Я пока дал только намек, а не определение. Мы не требуем, чтобы функция при применении к какому-то числу всегда заканчивала свои вычисления. Важно, чтобы она указывала путь этих вычислений, и чтобы это указание было понятно для нашего идеализированного субъекта.

Говоря абстрактно, в тезисе Чёрча содержится утверждение, что описание вычислимых функций может быть сделано по некоторому стандартному образцу. Описания эти могут быть перенумерованы, так что мы получим нумерацию таких функций. Начиная с Чёрча, предлагались различные, в том числе и очень интересные, стандарты описаний. Иногда они выходили за пределы работы с собственно числами (как «теория алгорифмов» А.А.Маркова).  В общем они всё-таки, в известном смысле оказывались эквивалентными, что служило дополнительным аргументом в пользу тезиса Чёрча.

Между тем любая из предлагаемых стандартизаций даёт возможность как-то охватить вычислимые функции точным понятием и прояснить их свойства. В принципе некоторая их стандартизация позволяет усмотреть, что ход работы каждой такой функции примерно следующий. Мы исходим из описания и данного значения аргумента. У нас есть процедура, которая по стандартному описанию, значению аргумента и номеру шага вычисления проверяет, кончается ли вычисление на этом шаге, если оно не кончилось раньше. В случае, когда эта процедура фиксирует конец вычислений, то другая процедура по описанию функции и номеру шага определяет её значение при данном аргументе.

Заметьте, что описания функций любым из предложенных способов могут быть заданы словами в каком-нибудь конечном алфавите. Их можно перенумеровать (что впервые начал делать Гёдель) и каждая вычислимая функция получит свой гёделев номер. Впрочем, здесь нужно уточнение. Функции при любой стандартизации задаются описаниями, а это означает, что экстенсиально совпадающие функции (совпадающие при всех значениях) могут быть заданы различными несовпадающими описаниями, а поэтому встречаться под разными номерами.

Давайте различать интуитивно предвосхищаемое понятие вычислимой функции и понятие вычислимых функций, получаемых с помощью описанных стандартных процедур. Первые функции мы так и будем называть вычислимыми; вторые будем называть рекурсивными функциями или даже частично рекурсивными, как это обычно делается. Хотя должен сказать - последнее название неудачно. В способ описания частично-рекурсивной функции рекурсия явно не включена.

Жанна. Как это понимать? Что такое рекурсия?

Михаил. Слово означает «бег назад» или просто «возвращение». При вычислении это означает, что определение значения функции для данного аргумента должны использоваться уже вычисленные значения для меньших аргументов. Впрочем, «предшествование» может пониматься не в обычном смысле, а в каком-то другом. Но во всяком случае цепочка, начинающаяся с какого-то числа и переходящая всё время к предшествующим членам, должна в конечном счёте обрываться на наименьшем числе, которое при обычном упорядочении, разумеется, равно нулю, но в других случаях может быть и другим. Частично рекурсивные функции, всюду определённые (т.е. заканчивающие вычисления при всех аргументах), называют общерекурсивными. Для известных классов таких функций часто можно следить за ходом их работы при помощи спуска по некоторому упорядочению аргументов – такие упорядочивания, кстати, называются полными – впрочем, я боюсь вас замучить техническими деталями. Давайте, закруглю мысль – при переходе от интуитивно вычислимых функций к общерекурсивным собственно рекурсия уходит на второй план. Собственно, если мы исходим из конкретного описания, скажем, общерекурсивной функции на каком-то общем языке и можем перевести это описание в стандартный язык, а значит и вычислить номер функции, то в этом номере в закодированном виде будет содержаться описание рекурсии. Но, если мы возьмём номер с потолка, то даже, если соответствующая функция будет общерекурсивной, сама рекурсия не будет явно выписанной. Впрочем, строгое «конструктивное» доказательство такой общерекурсивности должно обеспечить построение схемы рекурсии.

Что же мы вообще можем сказать о соотношении двух больших классов функций – класса вычислимых функций и класса частично рекурсивных функций?

Все частично рекурсивные функции следует признать вычислимыми в том смысле слова, что разумный идеальный субъект сможет применять эту схему при попытке вычислить значение функции при произвольном натуральном аргументе.

Жанна. Но это именно «слепая» вычислимость. Поступай так-то и так-то. После каждого шага ты либо кончаешь вычисление и получаешь значение, либо продолжаешь его, может быть, совершенно не понимая механизм.

Михаил. Да, Жанна, у тебя правильное представление. Но тезис Чёрча является утверждением обратным к только что сформулированному. Он утверждает, что любая, придуманная идеальным субъектом, вычислимая (вообще говоря, частично) функция является частично рекурсивной. Точнее, это следует сказать так: всегда можно построить такую частично рекурсивную функцию, которая будет равна исходной.

Илья. Экстенсионально или интенсионально?

Михаил. Во всяком случае, экстенсионально. Но можно, исходя из имеющегося опыта, можно говорить и об интенсиональном равенстве. Видите, оправдание тезиса Чёрча во многом базируется на том, что существующие общие средства строить классы вычислимых функций допускают выражение на языке частичной рекурсивности, причём выражаться будет именно ход вычислений.

Жанна. Так что мешает отождествить два класса?

Михаил. Это заслуживает особого рассмотрения, и мне хотелось бы остановиться на этом вопросе подробнее.

Идеализированный субъект нам приходится мыслить ускользающим от точного описания так же, как ускользают от него и возможности коллективного исторического человеческого субъекта. Последняя есть эмпирическая истина.

Илья. Но ведь мы понимаем историю – во всяком случае, до известных пределов.

Михаил. Оглядываясь назад и то не до конца. И только частично особо проницательные люди могут предсказать будущее. Здесь же речь идёт о предсказании, относящемуся к идеальному субъекту. Он-то тем более не может быть полностью описан. Все классы частично вычислимых функций, придуманные на сегодняшний день, дают рекурсивные процедуры. Те из классов, которые претендуют на универсальность, оказываются эквивалентными. Однако, если мы рассматриваем оба эти факта как доводы в пользу тезиса Чёрча, то следует признать их эмпирический характер.

Фёдор. Странная мысль. Речь вроде бы идёт об идеальном мире, все истины  которого имеют не эмпирический характер.

Михаил.  Однако, слово применяется здесь очень к месту. Давайте сначала убедимся, что у нас нет средств установить справедливость тезиса Чёрча априорным, «доказательным» способом.

Субъект, получив вечное существование, сохраняет спонтанность и непредсказуемость выразительных средств. В новейшей мысли были попытки доказать противоположное.

Илья.  Это утверждает «тезис Монтегю».

Михаил.  Да. Монтегю, правда, смог подкрепить его только анализом специального фрагмента английского языка. Используется теоретико-множественный аппарат и принадлежащие Саулу Крипке «возможные миры». Последние для истолкования интенсиональных утверждений, подразумевающих смысловое содержание языковых единиц. Если бы модели Монтегю и удалось распространить на весь язык и удалось бы указать в языке определения вычислимых функций, то в результате мы выразили бы понятие в очень насыщенной математике. Используя это выражение, наверное мы смогли бы и доказать тезис Чёрча, но плата была бы высокой.

Фёдор. И всё-таки в отношении понятий даже очень абстрактной математики есть хоть какая-то надежда на истолкование. В большей мере, чем надежда на истолкование интуитивного понятия.

Михаил. Этого я не отрицаю, но я тут накрутил несколько «если». Так вот осуществимость одного из них, а именно,  «если бы удалось указать в языке определения вычислимых функций» - проблематична. В самом деле, как в языке, даже когда он является формальным, распознать фразы или сочетания фраз, которые являются определением вычислительного процесса? Убедившись в бесперспективности такой задачи, мы можем проститься с надеждой дать аналитически точное определение вычислимости, а её определение как рекурсивности признать эмпирическим.

Фёдор. Применение слова «эмпирический» смущает. Мы ведь всё же перешли к абстрактным предметам, о чём я уже говорил.

Михаил. В субъекте, хотя бы увековеченном, остаётся живая конкретность. Мы не в состоянии от неё избавиться. Да ведь мы и не остановили время, не убрали его из обращения, к чему обычно стремятся, пытаясь представить себе мир абстрактного. В физике победить время означало добавить к трём измерениям пространства четвёртое временное измерение и иметь отныне дело с четырёхмерным миром. Но в математике мы время не побеждаем. Оно у нас связано с  субъектом и не теряет поэтому своей конкретности. Да в физике поначалу сквозной детерминизм уравнивал четвёртое измерение с первыми тремя. В математике же наш субъект навсегда остаётся свободным.

Жанна. А какие практические последствия от расхождения двух понятий?

Михаил. Вся великолепная теория, развиваемая относительно рекурсивных функций, проходит мимо функций вычислимых, хотя кое-что и остаётся. Среди теряемого – фундаментальная теорема о существовании «универсальной» частично рекурсивной функции. Такая функция, получив номер конкретной рекурсивной (частично) функции, способна выполнить её работу. Из неё много чего следует. Среди прочего – построение конкретных «алгоритмически» неразрешимых проблем. Хрестоматийный пример такой проблемы – распознавание, применима ли функция к своему номеру.

Илья. Вся теория остаётся, если иметь дело только с рекурсивными функциями?

Михаил. Остаётся, но говорить о «вычислимых» функциях без «эмпирического» утверждения о совпадении двух классов мы не можем.

В теории много замечательного – нумерация общерекурсивных функций, существование универсальной функции, построение неразрешимых проблем…В общем, это замечательная математика, но, повторяю, толковать её как учение о возможностях  идеального вечного человека можно только эмпирически.

С этим связан ещё один вопрос. Специалистов по теории вероятностей давно интересовала проблема, как можно конструктивно определить понятие случайной последовательности. Более определённо. Такой мы признаем  последовательность, удовлетворяющую следующим условиям. Её члены  - ноль и единица, причём частотность появления, скажем, ноля в начальном кортеже стремится к 1∕2 при возрастании кортежа. Другие сходные требования можно удовлетворить, перестраивая имеющуюся уже последовательность наших требований. Но я ещё не назвал самые серьёзные условия.

Речь идёт о том, чтобы последовательность можно было считать случайной. Математик Мизес  в тридцатые годы сформулировал это условие так: ни сама последовательность, ни её закономерные подпоследовательности не могут быть закономерными. А для истолкования понятия закономерности естественно привлечь вычислимые функции. Это начал Колмогоров, а Мартин-Лёф нашёл нужное определение.

Строго говоря, теория уже выходит за рамки собственно арифметики, используя начальные понятия анализа. Но арифметическая составляющая её очень значима. Во всяком случае главные результаты используют теорему об универсальной рекурсивной функции, так что приходится говорить о функциях не  интуитивно вычислимых, а общерекурсивных, а это опять же заставляет различать наше интуитивное понятие случайной последовательности и то технически определённое понятие, которое мы вводим с помощью рекурсивных функций.

Фёдор. Тем не менее что-то удаётся  получить для  понятия, основанного на рекурсивных функциях.

Михаил. Да, очень многое, причём много и важных результатов. То, что раньше было следствием свойств случайных величин, которые закладывались в аксиомы теории вероятностей, сейчас становится следствием конструкции. Важна и теорема о том, что в некотором смысле «почти все» последовательности нолей и единиц, с частотностью одна вторая каждой из них, являются случайными. Это всё не добавляет новых фактов к классическому содержанию теории, но как бы под неё подводится онтологическая база. Однако повторяю, эта база имеет эмпирический  фундамент.

Фёдор. Но ты нам собирался рассказывать не только об арифметике?

Михаил. Уже у Брауэра, кроме интуиционистской арифметики, существовал интуиционистский анализ. Но здесь-то как раз выявятся расхождения с пониманием Брауэра.

Арифметика имеет дело исключительно с результатами деятельности самого идеального субъекта. Он сам создаёт вокруг себя некий мир. В анализе субъект занимает открытую позицию. Он готовится к встрече с неизвестным и обдумывает, каким образом он может эффективно это неизвестное обрабатывать.

Впрочем, пока мои слова, видимо, темноваты.

Жанна. Трудно это отрицать.

Михаил.  Ну, что же; вот основная конкретизация. Субъект, как мы знаем, способен порождать числовые последовательности. Если мы поставим условие, что один субъект может научить другого заменять его при порождении задуманной последовательности, то мы придём к последовательности вычислимой. Но представим теперь, что последовательности интересуют нас не с точки зрения того, как они порождаются, а с точки зрения того, как можно с ними работать. В этом контексте оказывается возможным говорить о любых последовательностях.

Фёдор. Ты хочешь сказать, что они такие же объекты исследования, как вычислимые или даже рекурсивные последовательности,

Михаил. Нет, этого я не говорю. Но наш идеализированный субъект может придумывать вычислительные процедуры, применимые ко всем последовательностям. Собственно, новые математические принципы и новая математика вырастают вокруг открывающихся возможностей субъекта. Впрочем, давайте, я изложу кое-что из этого, а потом обсудим всё более полно.

Фёдор. Принимается.

Михаил. Итак, представим себе, что идеальный субъект обдумывает, как ему построить функцию, применимую ко всем последовательностям. Эти последовательности он мыслит, как нечто вырастающее перед ним.

Жанна. Т.е. некий оракул последовательно для аргументов, равных нолю, единице, двойке и т.д. сообщает ему значения членов последовательности.

Михаил.  Совершенно верно. Суть в том, что наш субъект должен построить свою функцию (или функционал; часто предпочитается такое слово), ничего не зная о природе встреченного аргумента. Это он может сделать только при соблюдении известных ограничений. Эти ограничения и дают новые принципы.

Первый из них довольно прост и нагляден. Субъект при всём бесконечном времени, имеющимся у него в распоряжении, должен при данном аргументе закончить вычисления в конечное время. За конечное время он может получить только конечные сведения о своём аргументе. Напоминаю, что аргумент является «оракулом», сообщающим свои значения, и таких значений он может сообщить только конечное число за конечное время. Можно считать, что значения аргумента сообщаются последовательно, начиная со значения при ноле.  Тогда в любой момент времени, информация, которой располагает идеальный субъект об своём аргументе f, будет иметь вид следующего перечня f(0),…,f(n) для некоторого натурального n. Мы предположили, что в данный момент вычислитель заканчивает вычисление. /то значит, что результат вычисления зависит только от указанного списка, т.е. если для какого-то другого аргумента g будут выполняться равенства  f(0)=g(0),…,f(n-1)=g(n-1), то построенный нашим вычислителем функционал, будет принимать на f и g одинаковые значения.

Более стандартно, без «до-математических» разговоров о времени, это можно выразить следующим образом: для каждого аргумента f найдётся такое натуральное число n, что для любого аргумента g, удовлетворяющего равенствам f(0)=g(0),…,f(n-1)=g(n-1), значения функционала на f и g совпадут. Этот  принадлежащий Брауэру  принцип, называется принципом непрерывности.

Название связано с тем, что можно действительно ввести понятие непрерывности, близкое к общеизвестным понятиям анализа, и наше свойство окажется ему близким.

Илья. Разъясни немного.

Михаил. Хорошо. Окрестностью назовём произвольный кортеж (линейно упорядоченное конечное множество) вида <a₀,…,a_n-1>. Функция f принадлежит окрестности <a₀,…,a_n-1>, если f(0)=a₀,…,f(n-1)=a_n-1. Функционал Ф называется непрерывным при аргументе f, если существует такая окрестность <a₀,…,a_n-1>, которой f принадлежит, причём, если другая функция g принадлежит <a₀,…,a_n-1> то выполняется Ф(g)=Ф(f). Слово «существует» в этом определении можно понимать конструктивно. Ясно, что любой вычислимый функционал в силу принципа непрерывности оказывается непрерывным. Верно и обратное при конструктивном понимании определения непрерывности. Однако, если понимать непрерывность не конструктивно, то вопрос об её эквивалентности вычислимости скорее всего решается отрицательно.

Жанна. Но что означает не конструктивное понимание для конструктивиста? По-моему здесь скорее будет непонимание.

Михаил. Да я, стремясь к полноте, слишком рванулся вперёд. Не стоило говорить о конструктивном. Пусть это останется чем-то предварительным, служащим намёком и предварением для будущих разговоров. Не требуйте от меня сейчас точных разъяснений.

Пора перейти ко второму принципу Брауэра. Он опять имеет дело с вычислимым функционалом и оценивает средства построения, имевшиеся в распоряжении его конструктора. Давайте попытаемся понять ход рассуждений.

Мы будем рассматривать всевозможные кортежи натуральных чисел, включая пустой кортеж.  Кортеж <a₀,…,a_n-1>будет по  определению иметь длину n; пустой кортеж пусть имеет длину 0. Кортеж вида <a₀,…,a_n-1,b> будет называться непосредственным продолжением кортежа <a₀,…,a_n-1>. И любые одноэлементные кортежи считаются непосредственными продолжениями пустого кортежа <>.

Это, пожалуй, и все нужные определения.  Пусть теперь нам дан вычислимый функционал Ф. В центре наших разборов буде следующее утверждение, зависящее от параметра  x, имеющего в качестве значений произвольные кортежи.

«Функционал  Ф заканчивает свои вычисления при всех аргументах, начинающихся с кортежа x».

Фёдор. Но ведь оно просто истинно, поскольку функционал заканчивает работу вообще при всех аргументах!

Михаил. Мы сейчас будем смотреть на функционал не как на нечто уже сформированное и законченное, а как на нечто, находящееся в процессе созидания. Функционал возникает под руками нашего  идеализированного субъекта,  и он должен гарантировать его определённость на каждом встречном аргументе.

Илья. Но ведь функционал может быть построен с помощью каких-нибудь общих приёмов. В ней будут различные промежуточные функционалы, и на каждом шагу построения любой из этих функционалов определён при всех аргументах в силу общих теорем.

Михаил. Да практически теория так и развивается, но должно существовать построение функционала как чего-то первоначального. Об этом и будет речь. Собственно говоря, важным оказывается не получение численного значения функционала при данном аргументе. По принципу непрерывности для получения значения мы должны на каком-то шаге прервать развёртывание аргумента, «остановить» его на каком-то начальном кортеже. Мы можем, совершенно не интересуясь значением нашего функционала, мыслить только систему таких «останавливающих» кортежей. Говоря топологическим языком, это есть система окрестностей, покрывающая всё пространство аргументов. Эта система обладает свойством интуитивной вычислимости, т.е. по любому аргументу я могу эффективно определить окрестность из системы, в которую он «ловится». Вот процесс такой «ловли» нас и будет сейчас занимать.

Из конструкции функционала можно извлечь  определение «останавливающего» кортежа, формулируемое без упоминания функционала. Теперь заметим, что это определение таково, что оно позволило конструктору обосновать определённость созидаемого функционала (или же соответствующего процесса останавливания) на всех аргументах. Что могло использоваться при этом обосновании?

Будем рассматривать следующий предикат Π(f): последовательность f, останавливается в нашем процессе вычисления. Ясно, что, если f принадлежит «останавливающей» окрестности (для чего имеется независимое определение), то  Π(f) будет выполняться. Мы присоединим к этому такое дополнительное утверждение: если для любых b всякое f, начинающееся с кортежа <a₀,…,a_n-1,b>, останавливается, то останавливается и всякое f, начинающееся с кортежа <a₀,…,a_n-1>.

У вычислителя есть какая-то возможность останавливать любую числовую последовательность. При такой остановке фиксируется начальный кортеж последовательности, и этого кортежа оказывается достаточным для определения значения функционала. Не обязательно иметь возможность по данному начальному кортежу уметь эффективно определять, является ли этот кортеж достаточным. Возможен случай, когда вычислитель просто умеет перечислять достаточные кортежи. В процессе вычисления он тогда параллельно получает начальные кортежи аргумента и свои начальные кортежи, пока какой-нибудь из вторых кортежей не окажется началом последнего из первых. Главное в этом процессе, разумеется, в том, что так останавливается любая последовательность. Здесь опять квантор пробегает все последовательности, которые вычислитель может встретить и о природе которых он ничего не знает.

Нас интересует сейчас следующее.  Вычислитель в конечном счёте умеет доказывать, что все последовательности останавливаются. Если он образует предикат Ο(α) с параметром α (окрестностью), означающий «все последовательности, принадлежащие окрестности α, останавливаются», то он может записать высказанное утверждение следующим образом: Ο(<>). Попробуем прикинуть, какие данные есть у него для такого доказательства. Во-первых, он может утверждать, что останавливаются все последовательности, принадлежащие останавливающей окрестности. Давайте попробуем это тоже записать символически. Пусть Β(α) означает, что α является останавливающей окрестностью. Тогда вычислитель умеет доказывать, что если имеет место Β(α), то имеет место также и Ο(α). Запишем это, пользуясь кванторной символикой:

.

Во-вторых, вычислитель может при некоторых условиях от одних окрестностей переходить к другим. Мы, собственно, уже сформулировали правило, и сейчас я его символически запишу. Нужно только одно соглашение: если α – кортеж, а n – натуральное число, то посредством α*n будем обозначать кортеж, получаемый из α приписыванием сзади числа n. α при этом может быть пустым. Теперь ясно, что если при произвольном n останавливаются все кортежи, начинающиеся с α*n, то останавливаются и все кортежи, начинающиеся с α.

Жанна. Да, это ты произносил, и  это утверждение следует из природы самой останавливаемости.

Михаил. Запишем его символически:

.

Ну, и, пожалуй, я символически запишу то заключение, которое нужно для построения всюду определенного функционала:

Ο(<>).

Наша задача – осмыслить отношение между этими тремя утверждениями. Назовём их для удобства первым (I), вторым (II) и третьим (III). Но я хочу, чтобы мы перенесли себя в положение вычислителя, который ещё только обдумывает вопрос, получится ли у него правильный процесс остановки, если он будет использовать для этого предикат B.

Фёдор. А в каком смысле правильный?

Михаил. В том смысле, что все последовательности будут останавливаться. Это в нашей символике как раз утверждает третье предложение Ο(<>).

Федор. На первый взгляд представляется, что из первых двух предложений должно следовать третье, а ведь первое предложение будет истинным по определению останавливаемости, а второе просто является свойством останавливаемости, которое ты сформулировал.

Михаил. Как же аргументируется это следование?

Фёдор. Прости, но наверное неправильно с точки зрения твоей перспективы. Если бы  Ο(<>) не имело места, то в силу (II) для какого-то одноэлементного кортежа, скажем, <p> не будет выполняться Ο(<p>). Воспользовавшись (II) ещё раз, получим двухэлементный кортеж <pq>, для которого опять же предикат Ο не будет верен. Эту процедуру можно неограниченно продолжать. В результате у нас получится бесконечная последовательность, для любого начального кортежа которой, скажем,  α, Ο(α) не выполняется.

Назовём эту последовательность f. На некотором начале β она должна останавливаться. Но тогда в силу (I) будет иметь место Ο(β), в то время как это утверждение должно быть ложным, поскольку β – начальный кортеж f.

Михаил. Да, таково классическое доказательство. Но давайте попробуем обосновать утверждение, исходя из занятой нами позиции.

Видите ли, я начну с повторения. Наше останавливание останавливает любую последовательность, что означает наше полное незнание её природы. Поэтому мы не вправе строить нашу процедуру так, чтобы она чего-то дожидалась, не зная степени приближения к кону нашего процесса.

Жанна. Скажи яснее.

Михаил. Ну, скажем, заранее известно, что в последовательности встретится хотя бы одна единица, и вычислителю предписывается ждать её появления, а после него остановиться (если это останавливание для построения функционала, то тогда значение его можно, например, определить, как номер первого члена последовательности). Но если аргументом может быть любая последовательность, то такое ожидание, повторяю, невозможно. А это значит, что вычислитель должен так планировать процесс вычисления, чтобы по ходу роста начального кортежа аргумента он мог оценивать степень приближения конца процесса. Поскольку информация об аргументе поступает порциями (т.е. последовательностью значений f(0), f(1),…), то мера близости конца должна уменьшаться при появлении каждой новой порции.

Теперь с этой точки зрения, что означают наши утверждения (I), (II), (III)? Первое означает, что когда мера близости конца нолевая, то все последовательности, начинающиеся с уже известного нам начала, остановлены. (II) формулируется как  раньше, но обоснование утверждения у вычислителя связывается с уменьшением меры: поскольку как бы ни продолжалось начало <a₀,…,a_n-1> нашей встречной последовательности, мера близости уменьшится и, значат, остановка при любом продолжении гарантирована, то гарантирована остановка при любом продолжении начала <a₀,…,a_n-1>.

Дополнительное пояснение к заключению (III) выглядит так: для пустого начала у нас есть мера близости – поэтому  любое его продолжение кончается остановкой. Вычислитель, используя свои меры близости, действительно, умеет из (I) и (II) выводить заключение (III).

Теперь подставим в эти три утверждения вместо предиката Ο, имеющего конкретный смысл, некий абстрактный предикат Π(α), имеющий в качестве параметра опять же окрестность α. Утверждения (I), (II), (III) перейдут теперь в аналогичные утверждения, которые мы обозначим посредством (I’), (II’), (III’):

,

,

Π(<>).

Спрашивается, может ли вычислитель, выводить (III’) из посылок (I’), (II’).

Илья.  Наверное,  здесь нужно использовать упомянутые меры близости.  В случае нулевой меры результат даёт ( I’), если же мы имеем с какой-то ненулевой мерой для α, то, предполагая  для всех β с меньшей мерой, мы в силу (II’) получим . Отсюда и получится (III’).

Но, если я правильно понял, здесь не названное тобой явно, использование ординалов. Представляется, что всякое останавливание должно использовать некоторый ординал, а, если это так, то открывается возможность использовать его в других рассуждениях.

Илья.  Математик может так охарактеризовать процесс, хотя я намеренно уклонялся от разговора об ординалах. Собственно говоря, они не вводятся. Во-первых не требовалось линейной упорядоченности мер. Во-вторых, сами системы мер должны быть заранее придуманы вычислителем. Что говорит о какой-то их «вычислимости», хотя при более общих рассмотрениях возможно появление системы мер со стороны, предоставляемой вычислителю кем-то другим. Впрочем, это относится к расширенной теории, и пока мы об этом не говорим.

Метод вывода заключения  (III’) из посылок (I’), (II’). Брауэр назвал бар-индукцией, что переводится как индукция запирания. Останавливающие кортежи запирают  развёртывание любой последовательности. Слова «любая последовательность», как видим, витает над нами, и я уже достаточно сказал об этом. Но сам Брауэр стремился к онтологическому пониманию. Он прошёл мимо предложенного понимания всех последовательностей как объектов возможной встречи, природа которых нам неизвестна, и стремился дать какую-то онтологию таких возможностей. Он говорил либо о последовательностях произвольного выбора, либо о свободно становящихся последовательностях. Первое понятие связывается с идеальным субъектом, но идеальность его ещё более утончается. Субъект, даже имея впереди бесконечную жизнь, может обладать такими внутренними склонностями, что последовательности, им порождаемые, будут составлять определённый и притом неполный класс. Стало быть, нужно мыслить идеальный субъект ещё идеальнее. А что это значит, если не возможность порождения всех последовательностей? Но тогда проще, а методически правильнее принять за основное второе понятие. Аналогичное может быть сказано и о свободно становящихся последовательностях – онтология свободного становления определяется опять же на языке всех последовательностей.

Как мы видели, можно обойтись без онтологии вообще. Мы имеем дело с последовательностями как с объектами возможной встречи, и ничего не нужно предполагать о том, как эти объекты устроены. Планируя способы нашего обращения с ними, мы совершенно не интересуемся вопросом о том, субъект ли стоит за таким объектом или какоё-то природное явление.

Фёдор. Объекты возможной встречи, это ведь не обязательно последовательности?

Михаил. Разумеется, нет. Здесь открывается некая новая перспектива. Пожалуй, стоит сформулировать некоторые общие требования к классам таких объектов.

Во-первых, класс возможных объектов должен включать в себя только объекты, являющиеся  абстракцией от объектов, которые мы можем считать реальными в нашем остановленном математическом мире. Для класса функций такими реальными объектами будут функции вычислимые.

Во-вторых, сам «объект возможной встречи» должен быть пределом накопления данных о нём с течением дискретного времени.

Жанна. То есть, объект определяется счётным множеством данных. Это представляется очень сильным ограничением.

Михаил. Может быть, это всё же не так уж страшно. Когда Кантор рвался в новооткрытые бесконечные просторы, он описывал их всё же на немецком языке, и слов и предложений в этом языке тоже счётная совокупность, если мы позволим себе так нечётко выражаться ради краткости и наглядности.

Но во всяком случае математика объектов возможной встречи с какими-то свойствами отличается от математика объектов, которые мы, так что у нас фактически оказываются два вида математики.

Илья. Что-то такое, кажется, было известно уже пифагорейцам школы Гиппаса, понявшим, что геометрия не сводится к арифметике чисел, и открывшим новую геометрию, так называемую геометрию величин.

Михаил. Это не случайная параллель. Геометрия сродни современным теоретико-множественным системам. Конечно, геометрические объекты претендовали на эмпирическую реальность, хотя она не всеми признавалась. Не так ли, Илья?

Илья. Так достаточно вспомнить парадоксы Зенона!

Михаил. Вот именно. Что же касается современной теории множеств, то у неё таких притязаний нет, но выдвигается новая проблема – проблема непротиворечивости.

Я уже говорил, что её нужно заменить проблемой истолкования в идеализированном реальном мире. В этой связи возникает ещё одно обстоятельство. Возникающие в отрыве от действительности теории могут быть двух сортов. Одни саму теорию формулируют как систему аксиоматических утверждений и не интересуются вопросом существования соответствующих предметных систем. Можно условно назвать эту часть математики Алгеброй. Анализом же следует назвать изучение математики конкретных систем, создаваемых средствами теории множеств.

Илья. Мы далеко ушли от античного анализа-разложения, хотя современный анализ вырос из исследований XLI-XLIII веков, когда разложение действительно было на первом месте.

Михаил. Да, так получилось. И мы  не будем отказываться от истории.

Наряду с анализом и алгеброй существует Арифметика. Алгебру можно оставить в стороне, а арифметика и анализ фактически были главными героями моего рассказа.

Фёдор. Но ведь твой анализ, наверное, не ограничивается тем, что ты успел рассказать?

Михаил. Хотите продолжения? Какое-то продолжение я дам, хотя думаю, что логического конца здесь не будет. Истины анализа рождаются из оценки возможностей идеального субъекта, причём подразумеваются возможности его действий и мыслей в отношении объектов возможной встречи. Открытие классов таких объектов – творческая работа. Видите ли, они, с одной стороны, должны удовлетворять сформулированным мною условиям, а, с другой стороны, быть проекцией некоего царства, относящегося к чему-то сверхсчётному. Но я думаю, что истолкование мощных теоретико-множественных систем современности нужно искать именно на этом пути.

Я попытаюсь дать понятие о части того, что уже сделано леи тридцать-сорок назад. Простите меня, но придётся настроиться на слушание. Никто не возражает?

Фёдор. Наоборот.

Илья. Я – за.

Жанна. Я тоже.

Михаил.  Я начну с определения понятия типа функции.  Мы до сих пор имели дело с функциями трёх типов (пока понимайте слово неформально) – с константами, с собственно функциями, переводящими числа в числа, и с функционалами, переводящими функции в числа. Сейчас мы дадим более развёрнутую картину типов.

Пусть 0 будет типом, и если  и   типы, то пусть  также будет типом. Эти два правила исчерпывают определение. Подразумевается, что 0 является типом натуральных констант, а - тип функций, применимых к функциям типа  и имеющих на выходе функции типа . Но это пока только неформальное пояснение, поскольку рассматривать мы будем не функции вообще, а функции непрерывные и как их важный подкласс функции вычислимые.

Первые будут выступать у нас как объекты возможной встречи. Вторые будут объектами, которые может конструировать идеальный субъект.

Нам придётся определить кучу понятий. Эти определения используют понятие типа. Их схема – редукция по типам. То есть, определение какого-то понятия для сложного типа использует то же понятие для предшествующих типов. Или ещё сложнее – параллельно определяется несколько понятий, и каждое из определений на текущем шаге использует понятия из группы, введённые ранее. Впрочем, удобнее давать оба пункта определений по каждому из понятий.

Начнём с понятия элементарной окрестности.

Для типа 0, т.е. для константы, это одноэлементный кортеж, состоящий из самой константы.

Для типа  это пара <Σ,Ζ>, где Σ – окрестность (это понятие ещё не определялось; оно будет обобщением понятия элементарной окрестности) типа , а Ζ – элементарная окрестность типа .

Определение принадлежности непрерывной функции  элементарной окрестности (непрерывные Функции ещё не определены!).

Для типа 0: константа входит в элементарную окрестность, если она совпадает с константой этой окрестности.

Для типа : непрерывная функция f принадлежит элементарной окрестности <Σ,Ζ>, если для всех непрерывных функций g, принадлежащих Σ, уже в силу этого определёно равномерным образом некоторое начало значения f(g), которое принадлежит окрестности Ζ.

Принадлежность функции h окрестности Σ выражается символически как  hεΣ.

Определение непересекающихся элементарных окрестностей.

Для типа 0 две элементарные окрестности не пересекаются, если различны их константы.

Для типа  определение следует.

Пусть <Σ₁,Ζ₁> и <Σ₂,Ζ₂> две элементарные окрестности указанного типа. Пусть либо окрестности Σ₁ и Σ₂ не пересекаются, либо же они пересекаются, но при этом пересекаются и окрестности Ζ₁ и Ζ₂. В этом случае мы говорим о не пересечении окрестностей <Σ₁,Ζ₁> и <Σ₂,Ζ₂>.

Теперь введём понятие окрестности, под которое подпадут и элементарные окрестности.  Окрестностью будет называться конечный набор попарно непересекающихся элементарных окрестностей этого типа. В этом определении редукция не используется.

Теперь можно определить, наконец, основное понятие непрерывной функции данного типа. Оно вполне традиционно.

Непрерывные функции типа 0 это просто константы. Определим непрерывные функции типа . Функция  f такого типа будет непрерывной при аргументе g типа α (g  тоже непрерывная функция), если для любой окрестности  Ζ непрерывной функции f(g) (её тип – β) найдётся такая окрестность Σ функции g, что из того, что h входит в Σ (символически hεΣ), следует, что f(h)εΖ.

На этом каскад определений заканчивается. Попробую их прокомментировать.

Окрестности функций любого типа являются конечными распознаваемыми объектами. С помощью стандартных приёмов, принадлежащих Гёделю, их можно перечислять. Непрерывную функцию типа  можно так представить в работе: она получает  перечисление окрестностей типа α, в которые попадает аргумент. Это перечисление, разумеется, бесконечно, но для получения начала значения функции достаточно какого-то начала этого перечисления, причём в (недостижимом!) пределе значение функции складывается полностью.

Поскольку способ работы непрерывной функции постепенно вырисовывается перед вычислителем, имеющим с ней дело, уходя в бесконечность во времени и завершаясь там, а, кроме того, потому что идеализированный субъект сам может дать эффективные примеры непрерывных функций, следует признать эти непрерывные функции объектами возможной встречи. Вычислитель может готовить свои эффективные процедуры, получающие такие объекты в качестве аргументов (точнее, готовые их получить). Эти процедуры сами будут непрерывными, но при этом они будут ещё и эффективными, в то время, как общее понятие от этой эффективности отвлекается.

С понятием связан новый принцип, который был рассмотрен впервые математиком Спектором и может быть назван обобщённой или спекторовской индукцией запирания. Но чтобы его сформулировать, нужно ещё кое-что рассмотреть.

Что представляют собой непрерывные функции, имеющие тип , где α произвольный тип? Легко понять, что такой функцией окажется любая функция, переводящая натуральные числа в непрерывные функции типа α. В самом деле, пусть f такая функция, а m – натуральное число. Пусть Σ какая-то окрестность f(m). Тогда кортеж, состоящий из одного числа m, является окрестностью m и при любом аргументе, входящем в эту окрестность (а таким только может быть само m), значение функции есть f(m), т.е. принадлежит Σ.

Рассмотрим теперь эффективные функции, применимые к непрерывным функциям типа  и имеющие как значения числа.  Оказывается в применении к таким функциям мы можем воспроизвести доказательства, приведённые для эффективных функционалов, т.е. функция типа . В результате получаются два следующих принципа.

Принцип непрерывности. Для каждого аргумента f непрерывной функции найдётся такое натуральное число n, что для любого аргумента g, удовлетворяющего равенствам f(0)=g(0),…,f(n-1)=g(n-1), значения функционала на f и g совпадут.

Принцип индукции запирания Спектора.

Формулируется он аналогично уже описанной индукции запирания (она является частным случаем). Пусть выполняются следующие две посылки:

,

.

Здесь переменная g пробегает непрерывные функции какого-то типа α, а переменная f – кортежи, составленные из таких функций.

Предполагается, что у нас есть эффективное условие остановки последовательностей, составленных из функций типа  α. Β(f) означает, что начало f является первым началом, останавливающим последовательность.

 произвольный предикат над началами последовательностей типа .  - кортеж, получаемый из кортежа f приставлением к нему в конце функции g.

Если обе посылки выполняются, то мы можем утверждать, что

Π(<>).

Обоснование этого принципа таково же, как в случае, рассмотренном Брауэром. Разумеется, используется то, что представляющие возможных оппонентов последовательности непрерывных функций могут иметь в качестве своих членов любые функции соответствующего типа.

Видимо, этим расширение принципов анализа не ограничивается, но это расширение – творческая работа, а потому непредсказуемо. Можно только утверждать, что новые принципы будут извлекаться из оценки возможностей конечного, но идеализированного субьекта перед лицом возможных оппонентов новых изощренных классов.

Илья. Какая же математика может быть на этой основе развита?

Михаил. Мне не хотелось бы сейчас углубляться в эту тематику. Для нее потребовалось бы рассмотрение языковых и логических проблем, а сейчас мы занимаемся онтологией.

Фёдор. Так вот, если слово «онтология» здесь применимо в своем основном смысле, то математика должна состоять просто из описаний того, что мы видим, т.е. воспринимаем своей непосредственной интуицией. Помнится, Шопегауэр порицал Евклида за то, что тот придумал другую математику (речь шла о геометрии), открывавшую свои «теоремы» (слово-то лучше всего перевести как «узрение»!) путём долгой и не вполне очевидной дедукции. Шопенгауэр хотел другого, непосредственного узрения геометрических истин. Гуссерль мог добавить: «эйдетического» узрения.

Михаил. Предметы математики создаются человеком, причём как повторяемые другими (в этом проявляется идеальность субъекта!) конструкции. Они поэтому подлежат описанию и связаны с языком. В этом отношении мы отличаемся от древних, которые могли считать эти предметы созерцаемыми, хотя, конечно, должны были возникать проблемы относительно чисел.

Илья. Да они и возникали, начиная с Пифагора (с геометрией тоже не всё было ясно). Мне кажется, что отсутствие наглядности и воспрепятствовало расширение системы чисел.

Михаил.  До рациональных чисел?

Илья. И до рациональных и до вещественных. У греков был как замена  аппарат для  пропорций. Кроме того, они владели цепными дробями, но нужен был бесконечный Бог ислама и излучаемые Им бесконечные Умы, чтобы осознать цепные дроби как систему положительных чисел, могущих служить средствами измерения. Это мысль Омара Хайама.

Так что Боги-Создатели отрывали мусульманскую, а потом и христианскую математическую мысль от её земной основы или давали ей возможность оторваться, потому что интерес к природе тоже должен был присутствовать как фактор.

Жанна. Миша, но всё же нужно ли математике такое построение как у «Начал» Евклида? Не могло бы каждое положение иметь обоснование, ему соответствующее? Скажем, оно могло быть какой-то конструкцией – ведь твой идеальный субъект в первую очередь является конструктором. Такая конструкция держала бы на себе другую, которую в данном случае можно было бы считать смыслом положения («теоремы»).  Так что для математики получил бы оправдание евангельский вопрос «Что есть истина?».

Михаил. Мы касаемся столь важных и трудных тем, что нам придётся, видно, переключиться. Вообще мы говорим сегодня о мире и о предметах внутри этого мира или хотя бы на его границах или даже за границами, но всё же при сохранении связи с миром, почему, собственно, и возникла математика. Она была уже заокраинной, а сейчас, если вы не возражаете, я попробую вернуться к миру как к предмету точной науки.

Она построена на математике, но у нас пока есть зазор между математикой, привязанной к миру, которую мы хотели бы иметь и математикой, реально применяемой в науке. Кстати, давайте назовём эту науку физикой. Это название, конечно, очень старо, но в древности оно применялось слишком широко: под него подпадали биология и психология. Сейчас же оно применяется неоправданно узко: из него выпадают химия и астрономия.

Фёдор. Словом, физикой ты называешь изучение неживой природы?

Михаил. Да, это так. Я признаю, пожалуй, рассогласованность такого употребления с первоначальным значением греческого корня, означающего рождение, но то, как стало понимать физику Новое время, тоже заслуживает уважения.

Так вот, математика, применяемая в этой физике, отлична по своему духу от той математики, о которой я рассказывал. Её нельзя считать непосредственно привязанной к миру, пусть даже к остановленному, хотя с помощью интерпретации её в каком-то объёме и можно так привязать. Мы уже упоминали, что развиваться она начала в связи с тем, что человек-исследователь как бы старался уподобиться Богу в Его видении мира. Это движение нашло завершение в теории Кантора и создании теоретико-множественного аппарата, в котором интерпретируется бо́льшая часть такой математики. Эта теория отрывается от мира – обнять своим взглядом иерархии множеств не под силу идеализированному субъекту. Она отрывается также от мира и в своей логике.

Мне придётся слегка коснуться логической проблематики. Логика, применяемая классической математикой, основывается на интуиции идеализированного субъекта с неограниченными возможностями. Это выражается также словами о потенциальной и актуальной бесконечности. Когда мы говорили об идеальном субъекте, то предполагалось его вечное существование и неограниченные ресурсы.  Классическая логика требует бо́льшего – субъект должен фактически обнять своим зрением всё бесконечное прошлое и будущее. И это только начало, потому что в дальнейшем развитии строятся новые, более мощные бесконечности и все они должны быть видимы субъекту.

 Илья. Такой субъект уже меряется силами с Богом! Впрочем, то, что я говорил о роли идеи Бога в содержательных понятиях современной математики, наверное, справедливо и для логики.

Михаил. Ни у Кантора, ни у Буля, ни у Фреге это не высказывается явно и, верно, перешло уже в плоть и кровь. Рассел, один из великих реформаторов логики, вообще был антирелигиозен.

Но вернёмся к физике.

Современное развитие космогонии и физики, с ней связанной, меняет, как кажется, само представление о физике как науки о вечных законах. Два вида физического взаимодействия – электрическое и слабое оказываются результатом распадения одного цельного вида, названного электрслабым взаимодействием. Сейчас стоит вопрос об объединении его с сильным взаимодействием. Два (а может быть, три) вида взаимодействия, считавшиеся непременными законами природы, оказываются результатом развития, ведомым расширением мира. Правда, объединённое из двух или трёх компонент взаимодействие претендует теперь на такую роль, но эти претензии не имеют прежней убедительной силы.

В самом деле, как понимать физику – как учение о совокупности основных незыблемых законов или как историю развития Вселенной, начиная с предполагаемого «Большого взрыва». По сути дела это развитие бесконечно назад во времени. Хотя физики помещают расширение Вселенной в однородное время, как будто измеряемое нашими тончайшими часами, но первые секунды или даже их доли обнаруживают такую скорость изменений, что в них умещается в спрессованном виде бесконечная история.

Но я буду больше говорить о другом. Пусть мы истолковали классическую математику физики в математике, привязанной к идеализированной или остановленной реальности. В физике эта математика прилагается не к идеализированной, а к реальной природе. А это значит, что в каких-то аспектах и реальная природа может мыслиться остановившейся, так сказать, прикоснувшейся к вечности. Верно, можно привести немало примеров тому, как точное естествознание требовало для своего развития какой-то безусловной опоры в реальном мире, и это осуществлялось либо очевидностью чего-то, представлявшимся вечным, либо навязыванием этой вечностью реалиям не столь уж очевидным. Я напомню один известный пример – абсолютные пространство и время Ньютона. Ньютон объявлял их «чувствилищем Бога» и тем самым соединял вне-временное и безусловное с временным и переменчивым. И эти представления продолжались, кажется, до Маха.

Но основная трудность не в этом. Скажите, как поднять субъекта, пусть идеального, над всей Вселенной, как сделать его безусловным её господином? Когда мы останавливали мир, субъект мог выбрать себе какую-то начальную позицию и, пользуясь неподвижностью, начать свои построения, доверяя их неподвижному пространству. В физике у него такой возможности нет. Если Возрождение стремилось к этому, то потому только, что оно чувствовало, что Бог стоит над природой, над Вселенной, и стремилось уподобить человека Богу. У нас этой надежды в её полном смысле нет, и мы должны считаться со своей конечностью, то есть, с нашей принадлежностью миру. А только постулировав такую вне-мировую позицию человека, мы могли бы представить мировое целое подчинённым тотальным математическим закономерностям.

Фёдор. Так ли я понимаю, что при переходе от математики к физике начинается коллизия идеального и реального, которой в математике не было? Математический мир весь был на доске, за которой, так сказать, сидит математик. Физический мир – это доска, на которой располагается и сам физик, и он не в состоянии взглянуть на позицию сверху или сбоку, чтобы охватить её как целое.

Михаил. Да, такая формулировка правильна. Мне помнится, что в историческом Китае был специальный стол для работы математика, так что образ стола хорошо подходит.

Но я попытаюсь осветить положение вещей ещё и иначе.

В физике постоянно производятся эксперименты для проверки гипотез или просто для накопления материала. Любой эксперимент, однако, разыгрывается на сцене, где декорации в основном представляют собой хорошо известный и отличающийся постоянством мир. Он неизвестен только с какой-то одной стороны, и для того, чтобы раскрыть эту неизвестность, собственно, эксперимент и проводится. Представим себе, что мы имеем полное описание постоянств тех констант и законов, которые нужны для проведения эксперимента. Для установления каждого из них требуется своя обстановка, свои постоянства. Отступая так, мы, чтобы не увязнуть в бесконечности, должны что-то принять как исходное.

Жанна. Но разве мы не имеем этих исходных положений в донаучном представлении о мире, о его обыкновенных предметах и отношений между ними?

Михаил. Они отменяются последующим развитием. Трудно считать условием понимания то, что самим этим пониманием ниспровергается. Этого требовал Витгенштейн в последних пунктах своего трактата, но разве это исполнимо?

Илья. Его последователи, впрочем, иногда возвращались, как к исходному, к миру вещей.

Михаил. И я хочу соединить два направления мысли. Полное описание посылок для эксперимента должно включать в себя какое-то описание экспериментатора. Это, между прочим, особенно явно проявляется, когда описываются эксперименты, связанные с теорией относительности. При передвижении описания, о котором мы говорили, экспериментатор перемещается. Что мы ищем в бесконечности, как не экспериментатора абсолютного, ставшего над миром?

В том-то и фокус физики, что она тотальна по замыслу и не может мириться с субъектом, стоящим над миром. Экспериментатор должен находиться внутри мира и должен быть подчинён тем же тотальным законам, что и всё мироздания. С одной стороны, он – идеальный субъект и только потому может соединять созидаемые или ожидаемые математические предметы с миром. С другой стороны, он реальный субъект, подчинённый физическим законам; само соединение математического мира с физической реальностью этого требует.

Я, пожалуй, специально скажу несколько слов о пространстве-времени. Мы-то убедились теперь, что они представляют собой физическую проблему. Собственно говоря, мы не можем даже употреблять слово «они», говоря об этой проблеме, потому что пространство и время наверняка распадаются только локально, для данного события, а вообще они слиты в одно целое. Для их изучения и описание опять же требуется точка зрения внешнего наблюдателя.

Для простоты можно предположить, что опыт наш толкает нас к предположению о «классических» пространстве-времени и мы хотим испытать нашу гипотезу. Задуманные эксперименты предполагают система измерений (например, проверку теоремы Пифагора). Измерения мы совершаем, может быть, с помощью каких-то изученных физических процессов, а результаты читаем на какой-нибудь  размеченной шкале. Весь этот лежащий в основании комплекс средств вместе с нашим Я клонится к выпадению из исследуемого реального мира, является предположением всего исследования, но в то же время он реален и составляет только часть физической действительности.

Итак, два компонента математики – идеальный субъект и застывшие объекты – в физике должны иметь физически реальное воплощение. И тут мы  примысливаем к действительности вечность, которая может быть только гипотетической и всегда стоящей под угрозой разоблачения. Застывшие объекты могут оказаться изменчивыми, а идеальное Я эмпирическим, зависящим от физических обстоятельств. Мы пытаемся обосновать евклидову геометрию (это воображаемая, а не реальная ситуация), и берем образцы вроде бы постоянных тел или длин волн как эталоны для измерений, а также считаем, что обычный измеритель вполне удовлетворяет требования. И вдруг наши стандарты рассыпаются, вещи и волны, как оказывается, меняются в зависимости от обстоятельств, а действия и восприятия человека тоже от них зависят, и нам приходится искать какую-то другую точку опоры.

Жанна. Похоже, ты подходишь к концу своих рассуждений. Чем же ты их закончишь?

Михаил. А с чего мы начинали? Мы искали вечного в данном нам переменчивом мире. Мы уже коснулись слегка физики и отметили, что удостовериться в вечности чего-то физического (константы, закона) возможности нет, хотя такое и возможно. Закон сформулирован. Мы не можем доказать его, но практически мы проверили его во всех предвиденных вариантах обстоятельств, и не ожидаем ничего нового в этой области. Наше утомительное рассуждение даёт нам подсказку, откуда следует всегда ожидать неприятностей. Это от включённости самих исследователей в физический процесс и от открытой или скрытой предположенности постоянства от времени некоей опоры для всякого измерения. Незамкнутость теории не просто факт эмпирии, но интимно связана с временной структурой мира и требования внемирности для нашего научного инструментария и нас самих.

Жанна. Что же, Миша, спасибо. Но мы договорились обсуждать сегодня преодоление времени, и это – более обширная задача. Математика представляется состоящей из вечных истин, потому что она требуем вечности созданий, сохраняя при этом возможность их построения. Помнится, Вико высказал когда-то такое понимание современного ему естествознания. Человек сам создаёт конструкции, помещая их в вечность. Но ведь с Платона идёт и другая линия. Человек открывает мир вечного, от человека не зависящий. Это мир идей или эйдосов. Математика, кажется, Платоном  толковалась как нечто промежуточное между эйдосами и миром земных вещей. Что можно сказать об этом сейчас?

Фёдор. Можно было бы сказать, что мир эйдосов около сотни лет назад переоткрыл Гуссерль. Признавая родство с Платоном Гуссерль назвал свои сущности эйдосами. Но эйдосы Платона и эйдосы Гуссерля отличаются друг от друга.

Илья. Да ведь у них эйдосы исполняют разные роли. Для Платона приобщение к ним – это спасительное откровение божественного (впрочем, они даже выше богов), души, их видящие, как бы приобщаются к утерянному ими исконному и блаженному подлинному бытию. Гуссерлю такое, конечно, не свойственно. Но ви́дение эйдосов всё же должно занимать центральное место в научном знании. Мы, пока не подберём лучшего слова, будем говорить о таком ви́дении. Для Гуссерля оно является фундаментом всякой науки, да и сама философия вместе с ним впервые в истории конституируется как строгая наука.

Впрочем, о последнем говорил не только Гуссерль, а, например, венская после-витгенштейновская школа. И говорили они и позднее в эмиграции.

Жанна. Мне кажется, что само такое стремление к концу  только на первых порах окрыляет. Окончательная решённость должна убивать интерес и жизнь. Там, где неожиданность в больших вещах изгнана, где характер кардинальных решений предрешён, остаётся только дисциплинированное и довольно безрадостное существование. Желание обновления всегда будет просыпаться в таких ситуациях. Особенно это касается философии. Вся её история даже в пределах какой-нибудь одной традиции – это поиск нового, пока жизнь не ушла из этой традиции. Впрочем, этот поиск не является обычно мотивом сам по себе. Что-то из старого остаётся не решённым, что-то мучает своим несоответствием, и вдруг прозрение приводит к революции, частичной или полной. Окончательность тоже, конечно, даёт какую-то окрылённость, но это только на время.

Илья. Да такое время для гуссерлевской науки (он назвал её феноменологией; поскольку она описание явлений без всяких предположений об их онтологии) уже наступило. Феноменологический карнавал, сначала в Германии, а потом во Франции, уже позади. Резкой была, например, критика недавно скончавшегося Деррида. Но сначала, может быть, повторим для себя откровения Гуссерля.

Гуссерль не приписывал эйдосам какого-то независимого от актов сознания бытия, хотя в самом акте сознания эйдосы ощущаются как независимо сущие, т.е. в самом только акте сознания они воспринимаются как таковые.

Жанна. Что такое, собственно, акт сознания?

Илья. Будем употреблять вместо него русское слово «действие». 

Так вот, в начале казалось, что сами эйдосы черпаются нами из этих действий сознания. Действия эти разнонаправлены. К ним относятся и восприятия и действия собственно мышления. Первоначально казалось, что эйдосы могут извлекаться из первых тоже, что дело тут в особой установке нашего сознания, усматривавшего в материале восприятия его вечные, преодолевавшие время составляющие. Но похоже, что Гуссерль этой зависимостью от восприятия тяготился, что она слишком привязывала его к эмпирии, как к ней были привязаны  подобие эйдосов, и чтобы пробиться к самим эйдосам нужно некое прямое их узрение. Это – дело ума, которому эйдосы врожденны, но могут быть забыты в текущем воплощении. Возможно, однако, их припоминание, как Сократ и демонстрирует, правда, на примере геометрического рассуждения. Гуссерль также ищет путь к эйдосам с помощью тотального «взятия в скобки» всех суждений о существовании. Результатом такого кардинального сомнения остаётся то, в чём нельзя уже сомневаться (это отмечал ещё Августин), а именно существование нашего сознания. Оно-то и оказывается местом эйдосов.

Восприятие их считается независимым от восприятий, основанных на ощущениях.

Фёдор. Стоит поставить снова старинный вопрос – в какой именно момент человеческое сознание, привязанное всё-таки к телу, находящемуся во времени, становится причастным к вечным вещам, какими являются эйдосы? Или – учитывая формулировки Гуссерля – откуда берётся тождество личного сознания с неким общим сознанием, являющимся местом эйдосов? Мы никак не уйдём от скепсиса, если такое тождество будем считать не чем-то методически предполагаемым как основа для дальнейшего, а просто данным.

Михаил. А здесь не такое же положение дел, как в случае математики и физики? Не будет ли пассивно-созерцательное сознание таким же методическим предположением для феноменологии, каким активное Я было  для точных наук?

Фёдор. Твои идеализации исходили от мира и вместе с Я идеализировали или останавливали и сам мир. Здесь же как будто всё последующее содержание черпается из внемирного (мир-то заключается в «скобки»), а значит и вневременного источника. Словом, основания для скепсиса имеются, и неудивительно, что спустя какое-то время такой скепсис появился.

Илья. Но давайте рассмотрим, что получает феноменология.

Она не даёт того оперативного знания, которое приобретает математика благодаря своей идеализирующей остановке, хотя сам Гуссерль, во всяком случае в первую половину своей работы, и был склонен к такому пониманию. Для феноменологии сущности, коренящиеся в общем вечном сознании, являются предметом интеллектуального ви́дения, а это – пассивное, созерцательное знание. Оно скорее относится к человеку, чем к природе, скорее предполагает участие в изучаемом, чем власть над ним, и позволяет увидеть глубины, недоступные поверхностному зрению. Недаром феноменология дала мощный импульс к развитию экзистенциализма.

Вообще её роль в XX-ом столетии во многом аналогична роли немецкой классической философии в XIX-ом. Я имею в виду обращённость к человеческим глубинам. Романтизм толковал эти глубины как что-то родовое и общечеловеческое (что, как известно и вызвало протест Киркьегора). Поэтому он способствовал истолкованию общекультурного – искусства, мышления. Феноменология считает себя тотальной, ничего не упускающей из поля зрения. Её поэтому можно обратить не к сущностям, а к существованию, т.е. к наличному бытию человека, этим сущностям предшествующему. Помните сартровский тезис?

Фёдор. Это о том, что существование в человеке предшествует сущности и сущность, собственно, выбирается, даже должна быть выбрана? Так человек вовлекается в бытие, не теряя при этом своей экзистенциальной основы.

Однако, не было ли это соотношение между существованием (наличным бытием, экзистенцией) у Сартра отправной точкой для последующих атак на феноменологию? У Даррида вечное бытие сущностей оказывается бессодержательным для нас. Слово, сущность обозначающее, как будто имеет какой-то смысл, но на самом деле смысл этот сводится к отсылке к другому смыслу, а тот к ещё одной отсылке, и эта игра никогда не заканчивается, уводя нас в бесконечность.

Илья. Для феноменологии царство сущностей было условием понимания, в том  числе и понимания существования.

Фёдор. Это так. Но не вернее ли предположить, что здесь мы имеем дело с требованием, а не с действительностью?

Жанна. Что ты имеешь в виду?

Фёдор. Наше познание. Может быть, не только познание, но познание в первую очередь. Познавать – значит пленять неясный и переменчивый поток  с помощью не подвластных времени орудий, какими являются либо наши конструкции, либо остановленные образы самого потока. Я говорю здесь не о познании математика или феноменолога (если последнее имеется), а о познании физического мира с помощью математического аппарата или вещей  человеческих с помощью увиденных сущностей – если последнее и не обладает чёткостью первого, то что-то оно всё же даёт или во всяком случае давало людям. 

Илья. Эти твои мысли как будто перекликаются с кантовскими.

Фёдор. Какое-то родство есть, но отнюдь не близкое. Кантовские категории целиком определяют физический предмет. У нас попытки определения или схватывания предмета всегда остаются не окончательными, а пробными. Они могут быть отменены и заменены на другие. Кроме того, перестаёт играть большую роль кантовское различение категорий понимания и идей разума. Пробность уравнивает их. Как говорил Кант? Идеи повисают в воздухе, потому что нет поддерживающего их материала ощущений. Но ощущения отказываются поддерживать и математические понятия. Они идут в вечном карнавале  и если сегодня и вырисовывают какую-то фигуру, то это не гарантировано на завтра.

Жанна. Но всё же недаром признаётся постоянный прогресс науки. Движение карнавала направлено, правда, непонятно, идёт ли оно к чему-нибудь. Прежние цели оказывались миражами, за которыми открывались новые незнаемые просторы.

Фёдор. Практическую успешность нельзя, разумеется, отрицать, но и она ограничена. Кстати, если сохранять старое кантовское различение, о котором я говорил, то суждения понимания можно интерпретировать как суждения, влияющие на нашу практику, а суждения разума как такие выводы и положения теории, которые такого влияния не имеют. Хотя граница здесь размыта, но всегда есть нечто, лежащее по каждую сторону границы. Суждения понимания основываются на некоторых основополагающих структурах, таких как целокупный космос, основные взаимодействия, пространственно-временная структура, неразложимые «элементарные частицы» (я эти слова прячу в кавычки, потому что требуется какая-то неразложимость этих частиц).  Эти понятия должны отражать некие предельные реалии. Они появляются как гипотезы, положенные в начало. Благодаря им выстраивается знание понимания, но сами они выходят за рамки понимания. В историческом плане они предвосхищены Николаем Кузанским. Его точки, единицы моменты, равно как и бесконечность пространственного мира были проявлениями божественного Максимума в мире. Они как бы присутствовали на заднем плане; без них действительность не могла быть помыслена, но сами они ей не принадлежали. Для нашей физики, конечно, эти максимумы другие. Они кладутся в основание фундаментальных теорий, но могут быть удалены и заменены чем-то другим, когда теорию приходится перестраивать.

Давайте, впрочем, оглянемся назад. В физике два направления проблем, которые нужно различать.  Первое связано с пониманию целого, состоящего из физической реальности в её совокупности вместе с человеком, который вполне конкретен, конечен и смертен, и который должен воплощать в себе идеализированного человека математики. Второе направление отвлекается от намерения включить такого человека-исследователя в мир. Он парит над миром в воображении, но теперь нужно найти в этом мире вечную и неизменную опору для применяемой математики, какая бы она ни была – арифметикой или анализом, интуиционистской или классической. В вещах много относительного постоянства. Поэтому применение математики даёт замечательные практические результаты. Но построение конечной фундаментальной теории потребовало бы вечного построения математики на базе вечных внутримировых постоянств, а такое вызывает сомнения.

Илья.  Для сегодняшних разговоров характерно, что мы не ограничиваемся одной физикой, считая математику ясной самой по себе, как это обычно и считалось на протяжении прошлого века после работ школ Гильберта и Уайтхеда-Рассела. Проблемы физики и математики не отделены друг от друга, а соединены в одно целое, поскольку математика должна быть, как говорил Илья «привязанной к миру», хотя привязывается она к некой идеализации мира. Математика в античности, а до некоторых пор и в новое время продолжала мыслиться связанной с миром. Только девятнадцатый век попытался разорвать эти связи. Ну и что же? Вы хотите вернуться к более ранним временам?

Михаил. Это не совсем так. Математика привязана к остановленному (или идеализированному) в мире, хотя эта идеализация только частична. Она осуществляется воображением, идущим к пределу, и в этом её внутренняя возможность. Но действительности у неё нет. Физика же ищет идеального (опять же постоянного) в действительности. Возможности её мало. Поэтому она всегда под угрозой крушения.

Илья.  Но мы говорили и о Гуссерле и о феноменологии. Поскольку речь шла о приложении её «вечностей», то не пора ли обсудить вопрос об успешности таких приложений.

Фёдор. Мы уже говорили о критике вечных эйдосов.  Вечное Я как основа для узрения таких содержаний гораздо сомнительнее, чем деятельное идеализированное Я. Странно, но покой, к которому так стремилась античность является гораздо более неопределённым, чем движение и деятельность или точнее предрасположенность к ним. А раз так, то извлекать из Я эйдосы в их взаимоотношении - задача трудная, если не невозможная. Правда, можно предложить другое – эйдосы обитают в нашем языке. Их содержание – в их грамматических взаимоотношениях, и из них должны извлекаться. Это предложение заслуживает изучения, но я предлагаю оставить его обсуждение на потом. Сегодня мы пытаемся говорить об одних вещах, а не о словах, а к разговору о словах вернёмся как-нибудь потом.

Жанна. Наверное, мы это примем, если не будет возражений, но всё же ответь на первый вопрос.

Фёдор. От эйдосов всегда ускользала индивидуальность, что, разумеется, никто так не почувствовал, как Дунс Скот, назвавший её особым именем haeccitas («этость»). Эта  «этость» могла быть и вечной, как в случае ангелов или бессмертных душ вообще, так что не обязательно связывать её со временем, но если мы задумаемся, с одной стороны, о преходящести именно этих индивидуальностей, а с другой стороны, о неопределённости и зависимости от времени самих эйдосов, то понятна приблизительность и ненадёжность схватывания. Это же можно сказать об индивидуальности однократных событий, надо полагать, имеющих свою «этость». Событие прошло, и вот мы имеем в руках только письменные или словесные описания. Даже если нашего эйдетического языка и хватит для создания яркого портрета, гарантии точности нет, да и такие портреты меняются, получают новую окраску вместе с нашим движением.

Жанна. Ты так расправился со средствами познания, что непонятно, как вообще мы можем что-нибудь познавать и в каком смысле мы обладаем какими-то знаниями. И растёт ли вообще наше знание о мире или этот рост – совершенно бессодержательный миф. Что ты на это скажешь?

Фёдор. Знание является такой же целью, как бытие и многие другие цели. О многих из них мы, может быть, сумеем поговорить. Строго говоря, мы не знаем что-либо, потому что всё обретённое знание может быть подвергнуто сомнению. Сейчас я имею в виду научную картину, различные варианты которой мы обсуждали. Наши математические и феноменологические средства были инструментом их создания. Опыт показывает рост этой картины и увеличение возможностей её практического использования. Но это зависит от того, что сама природа сохраняет постоянство, идёт, так сказать, нам навстречу, и мы не знаем, сколь долго это будет продолжаться. Природа окутана временем, а всё внутривременное может окончиться.

Жанна. Но разве не охватывает при живом соприкосновении с природой и историей  чувство живого контакта? Это подлинное ощущение встречи, ощущение чьего-то присутствия и в этом ощущении укоренено само наше понятие истины.

Фёдор. Если уж говорить об ощущении присутствия или даже силы чьего-то присутствия, то мы, конечно, сталкиваемся с какой-то подлинностью. Но вот в чём дело. Подлинность эта конкретна, и мы неотделимы от этой конкретности. Если переживаемое окажется обманным, то, несмотря на горечь разочарования, какая-то полнота прошедшего всё равно была значительным событием нашего существования. В этом своя истина, а истина, которая кружится вокруг соответствия факту и которая в данных областях не может проявить себя как нечто окончательное – это что-то другое, то, к чему мы стремимся и что виднеется в недостижимой дали.

Я сформулировал бы это таким образом – представление об истине предметно-определённой является такой же желанной точкой остановки для наших усилий найти истину, как вечное является точкой остановки для стремления вырваться из времени. Реальное «рабочее» представление об истине выглядит по-другому. Оно, собственно, не едино, а зависит от своей области. Для математики оно может совпадать, например,  с доказуемостью. Надо ещё подумать, не удастся ли, размышляя таким образом, спасти истину метафизическую.

Жанна. Но, если нет позиции остановки, то ведь не на что опираться. Как вообще возможна тогда мысль.

Фёдор. Может быть, к такому пониманию был близок Киркьегор, настаивая на существовании, где нет ни вечного, ни логики, а есть лишь одно стремление к ним. Существование стремится к бытию; временное стремится к вечному. Поэтому потребности текущего момента всегда требуют опоры.  А эту опору мы считаем устойчивой и по возможности вечной. И по Киркьегору существование в первую очередь является действием. Действие же всегда на что-то должно опираться. Опираться же есть подчинение тому, на что ты опираешься. Когда мы утверждаем, что мы опираемся не на бытие, а на само наше стремление к бытию, мы освобождаем человека от этой зависимости, но освобождение имеет только теоретическое значение. Практически опора и зависимость от неё нам необходимы как условие жизни и самого существования.

Жанна. Не бытие, а стремление к бытию, не покой, а стремление к покою, не истина соответствия, а опять же стремление к ней. Не на что опереться как на что-то безусловное, и в то же время стремление такое безусловное найти, ибо без него опоры нет. Мы создаём какие-то царства, претендующие на безусловность, но они либо повисают в воздухе, либо требуют для себя остановленного потока, хотя они и создаются для того, чтобы этот поток остановить. Я правильно понимаю тебя?

Фёдор. Часть резюмированного сейчас тобою ты слышала не из моих уст, но ты всех поняла правильно.

Жанна. Тогда мне бы хотелось задать такой вопрос. Как следует относиться к методологии, предложенной когда-то Декартом – найти простые начальные положения, создать из них прочный фундамент, а потом как пирамиду этаж за этажом возводить на этом фундаменте корпус достоверного?

Фёдор. Речь ведь идёт о физике, а не о математике.

Жанна. Да вообще обо всём, находящемся во времени.

Фёдор. Сами начальные элементы должны тогда принадлежать времени, по крайней мере, какая-то их часть. Из чисто вневременного подвластного времени не соорудишь. И откуда тогда возьмётся гарантия вечности этих «элементарных частиц» изучаемой задачи? Мы фактически сегодня уже обсудили этот вопрос. Даже если признаётся какое-нибудь абстрактное доказательство необходимости неразложимых элементов – а такие существовали ещё в древности – то никто не гарантирует, что именно предложенная система элементарного будет таковой.

Михаил. Современные физические системы (элементарных частиц) имеют элементами скорее не сами вечные единицы, которые-то как раз не вечны, а превращаются в другие в реакциях, а некие суммарные и постоянные величины, конкретную систему характеризующие, как то – число частиц, суммарный заряд и т.п. Но, конечно, эти новые «элементы» оправдываются только эмпирически и рассчитывать на их безусловную вечность не приходится.

Жанна. Мы опять завершили кружок и вернулись к началу. Федя, но ты что-то говорил о возможности метафизики. Не можешь поделиться с нами, как ты себе её представляешь.

Фёдор. Да, как ни странно, я имел в виду простые вещи. Мне бы хотелось вас спросить, как вы относитесь к утверждению, что все люди смертны?

Илья. То есть – всем предстоит умереть. Я думаю, если нет специальных религиозных мотивов для отрицания, то любой человек склонен признать утверждение. Религии Страшного Суда избавляют от смерти последнее поколение. Даосизм в качестве религиозного Summum Bonum имеет в виду именно физическое бессмертие и считает, что даоские святые его каким-то путём достигали. Но даже там, где смертность считается возможным преодолеть, она признаётся как некая первоначальная данность.

Фёдор. Так вот знание этого утверждения, к какому роду следует его отнести?

Илья. А разве это не индуктивное знание? Разумеется, обычно в детстве оно усваивается со слов старших, а потом подтверждается на опыте. Человек может, разумеется, подвергнуть его методическому сомнению. Тогда-то основания и примут точный индукционный вид.

Фёдор. Мы видим, как всё живое умирает, во всяком случае всё, претендующее на индивидуальность – говорят о бессмертии мира бактерий как целого – поэтому приходится признать смерть законом природы. Не так ли?

Илья. Мне кажется, что так оно и есть.

Фёдор. Но вот в чём дело. Представляется, что в утверждении о всеобщей смертности есть какая-то окончательная уверенность, которой нет, скажем в утверждении о каждодневном восходе Солнца (поверим в него для простоты). Как будто бы у смертности имеются другие доводы, не сводящиеся к одной индукции. Впрочем, может быть, полезно вспомнить исторические аспекты индукции. Илья, поправишь меня, если я ошибусь.

Индукцию, как метод рассуждения, начали применять независимо друг от друга Демокрит и Сократ. Осмыслил и изложил «наведение» Аристотель. По нему отдельные примеры только «навдоят» (перевод слова induction или его греческого прообраза) мыслителя на нужный эйдос (идею), давая её не только в её определении, но целиком – со всем, что ей свойственно. Дающим является деятельный ум.

Бэконо ссылался на индукцию как на подателя скрытых от нас природных форм (аристотелевско-платоновских эйдосов). Никакой «податель» у Бэкона не предполагается. Это значит, что мы из самой индукции берём нужные свойства искомой формы, и никакого общения с активным умом не происходит, да у Бэкона такой ум и не фигурирует.

Илья. Бэкону сделать это было легче, чем мыслителям Греции или ислама. Ведь деятельный ум в Европе уже в схоластике понимался индивидуально, как часть человеческой души. Но вообще  притязания Бэкона на то, что человеческий ум сам по себе способен открывать формы, да ещё скрытые, отдают общим приближением человека к Богу по своим силам, а это – нерв Возрождения. Извини за то, что перебил тебя.

Фёдор. Он был вполне кстати. У Джона Стюарта Милля внутренняя связь между субъектом и предикатом в индуктивном суждении теряется до конца. Если утверждение «Все S суть P» установлено с помощью индукции, то связь между S и P – это не более, чем наша привычка (как сказал бы Юм) видеть S всегда в сопровождении.

Но представляется, что связь между человечностью и смертностью более интимна. Дети о ней могут ещё не знать, но, когда узнают, принимают её, несмотря на всю горечь. Интимность эту трудно выразить словами, точнее, словами с предметным, объективным значением. Её скорее выражают слова поэта или музыка. Но эта интимность – основание чисто «информационной» составляющей смысла, составляющей, которая заставляет нас признать истинность утверждения как нечто окончательное и основанное на чём-то, превышающем наш опыт.

Михаил. Мне кажется, ты имеешь в виду какое-то мистическое чувство.

Фёдор. Во всяком соприкосновении с внешним есть что-то мистическое, особенно когда это внешнее вдруг оказывается тебе сродни, однако, о мистике мы говорим в полной мере только тогда, когда видим что-то тайное, не укладывающееся в наш обычный опыт. В данном случае такого всё же нет.

Жанна. Допустим, мы согласимся с тобой. Но докуда простирается твоя «первая философия».

Фёдор. Не так далеко, как бы хотелось Аристотелю. Он ведь вводил первую философию как науку о сущем, о его видах и его высших родах. И он отличал сущее от существующего или наличного. Сущее по Аристотелю либо просто вечное (деятельные умы, светила, Земля) либо  подлунные «сущности» из формы и материи, не обладающие вечным бытием, но стремящиеся к нему и ему подражающие.

Когда выбирается противоположная позиция, то подчеркивается родство всего существующего не столько с вечными «сущностями»  (что они теперь?), сколько с обречённым на гибель существованием. И первое обобщение мы даём, переходя от человека к живой природе. Здесь можно сформулировать то, что мне бы хотелось назвать «тезисом Ксенофана». Согласно передаче Ксенофан первый высказал мысль о том, что «всё рождённое умирает».

Илья. Сейчас мы бы признали неживым многое из того, что живым считал сам Ксенофан.

Федор. Да, это справедливо. Мы можем ограничиться и живой природой. Но, между прочим, разрушаемость неорганических образований более приемлема, чем органических. Составленность здесь лучше просматривается, и, если мы сами умеем их составлять из частей, то сами сумеем и разрушать их. А что умеем делать быстро мы сами, то иногда медленно, иногда быстро сделает и природа.

Органическое и живое кажется более хрупким, но составленность его, даже если она и отчётливо просматривается (допустим, что так бывает), не исчерпывает жизни. В жизни остаётся что-то неуловимо-спонтанное, хотя угаданные нами и описанные функции жизни могут имитироваться. Да и конец жизни не может быть спокойной и тихой разборкой. Этот конец – всегда смерть, всегда уничтожение, а не только разборка на составные части.

Смерть индивидуального живого существа неизбежна, и мы можем поставить её рядом с человеческой смертью. Об основании для этой неизбежности можно сказать нечто аналогичное тому, что мы говорили о смерти человеческой.

Жанна. Только аналогичное или же просто то же самое?

Фёдор. Ну, если хочешь, то же самое. Мы ведь уверены в своей смерти как в смерти живого существа, а не как мыслящего субъекта. Но у нас нет уверенности в том, что жизнь во Вселенной будет иметь конец, хотя сейчас космологи и многое говорят нам о рождении и развитии Вселенной. И мы в конечном счёте ничего не знаем о том, всё ли неорганическое будет иметь конец.

Михаил.  Ты имеешь в виду то, о чём мы говорили – законы, константы, элементарные частицы или скорее их группы?

Фёдор. Да. Здесь есть какое-то примечательное расхождение между живым и неживым. В живом что-то противится нашему познанию, что-то ускользает от него, остаётся за пределами знания вспомогательных механизмов. Мы употребляем слово «спонтанность», чтобы обозначить эту спонтанность, хотя я не уверен, что это слово правильно. Во всяком случае, мы хотим им обозначить то, что понимаем из своего самоощущения. За пределами живого такое понимание прекращается. Начинается понимание совсем другого рода, основанное на богоподобном властвовании над вещами, хотя и у этого властвования есть свои границы. Так вот странно то, что в понимание живого входит непременная индивидуальная смерть, а когда мы переходим к неживому, то разрушение его образований не так уж непременно – сейчас проблематичным является распад протона – и в общем гипотетично.

Давайте, подробнее сравним гибель живого и неживого. Когда погибает организм, погибают все его составные части. Даже если возникновение организмов сходной природы произошло путём сращивания других организмов, последние, став частями нового цельного организма, утратили автономную жизнеспособность. Они зависят теперь от других частей и их совместного функционирования. Идея Лейбница о продолжении раздельного существования монад, составлявших погибающее живое существо, после смерти последнего должна быть признана ошибочной, во всяком случае, при натуралистическом её понимании.

Что теперь можно сказать о гибели неорганических образований? Они тоже могут рассыпаться, но, если они просто распадаются на части, то эти части могут оказаться чем-то оформленным, примером чему служит распад на молекулы или атомы.

Илья.  Мы опять сталкиваемся с проблемой вечных элементов материи. Но ведь мы согласились, что у нас нет априорного решения этой проблемы. Стало быть, здесь перед нами граница, которую метафизик не в состоянии преодолеть.

Фёдор. Но он может строить гипотезы о том, что находится по ту сторону границы.

Илья. Пусть так. Но разве не рушатся тогда надежды на научность метафизики?

Фёдор. Что ты называешь научностью? Мы ведь убедились, что даже математика должна основываться на предположениях. Конечно, предположения метафизики должны быть совсем другого рода, чем математические. Оправдание их в том, что иногда им навстречу поднимается что-то подобное тому, что мы переживаем, когда осознаём смертность человека или смертность жизни, а, с другой стороны, в новом освещении, которое иногда получает вся совокупность наших представлений о мире.

Илья. Что-то похожее на скепсис второй Академии. Мудрость - не в знании истины, но в стремлении к ней, а истина, в конечном счете, недостижима.

Фёдор. Прагматизм давно отказался от безусловного стремления к истине. Мы не столь радикальны. Начало, о котором я говорил, ещё претендует на истинность, хотя основания для его принятия другие, чем у традиционных истин. Далее мы удаляемся от уверенности, пытаясь, всё же не порвать связи с первой истиной. Но ниточка этой связи будет ослабевать.

Илья. Я надеюсь, ты расскажешь нам об этом более подробно.

Фёдор. Если есть охота слушать, то с удовольствием.

Илья. Я думаю, что всем нам это интересно.

Фёдор. Что ж, попробуем.

Во-первых, относительно постоянства, т.е. действительного преодоления вечности. Мы уже много говорили об этом и видели, что лучшими претендентами на вечность являются сохраняющиеся суммарные величины типа числа частиц, заряда системы, её массы (или лучше массы-энергии), импульса и т.п. Большая часть этих законов переформулируется как инвариантность законов рассматриваемой конечной системы относительно некоторых групп преобразований. Я позволю себе заметить, что изолированность системы от прочей Вселенной здесь предполагается, а это уже есть некоторое сохранение, да притом самое сомнительное.

Михаил. Мне тут приходит в голову такая мысль. Когда что-то сохраняется во времени, для этого сохранения требуется какая-то сцена или точнее сценическая площадка. Если бы такой площадки не было, как бы мы смогли уловить несохранение? Если меняется всё, то нет меры для этого изменения, а такая мера предусматривает некий покой. Тезис о всеобщем движении поэтому требует уточнения.

Фёдор. Да это ведь скорее тезис о всеобщей подвижности и непрочности всякого покоя. Ты прав в том смысле, что движение или гибель не могут сразу охватить всё, но они могут затронуть любое. Впрочем, можно сказать сильнее: они не могут быть замечены и осмыслены, если не остаётся ничего стабильного, точнее, относительно стабильного, потому что всякое понимание требует такой стабильности.

Но я, пожалуй, сформулирую то, что считаю центральной мыслью – среди всеобщей подвижности есть общее же стремление к постоянству. Здесь мы отдаляемся от прочной почвы и выдвигаем новое утверждение только как предположение – откуда, в самом деле,  у нас могут возникнуть прочные основания в этом вопросе, да и в любом другом?

Илья. Что же, ты считаешь, что пора вернуться к целевым (или конечным) причинам?

Фёдор. Пафос Дарвина заключался в том, что эволюция живого мира, наиболее подходящая сфера для введения целевых причин, объяснялась отбором, т.е. не целевым образом. Но объяснение самого Дарвина  было ещё достаточно умозрительным и основывалось на ложном предположении о наследуемости приобретённых признаков. Более поздние толкования связаны с генными мутациями, но точной математики, объясняющей скорости эволюционных процессов, нет; вся картина оставляет возможности для сомнений и размышлений.

Традиционно целевые причины связываются рассудком и волей. Цель, чтобы стать действенной, должна вроде бы быть чьей-то сознательной целью. Так оно было у последнего ренессансного мыслителя, у Кампанеллы, не желавшего отказаться от целей. Он говорит о силе, мудрости и любви. Правда, зоолог в наши дни скажет скорее об инстинкте, и это освобождает от разумности или рассудочности действий, но не освобождает от их целенаправленности. Конечно, целенаправленность не означает просто направления движений - тогда и шар, скатывающийся в лунку, действовал бы целенаправленно. Для целенаправленности надо, чтобы вместе с "туда", т.е. с целью, было бы ещё некое "откуда", действующее для себя.

Михаил. И ты хочешь, чтобы такое понятие легло в основания науки, скажем, биологии и не только её одной?

Фёдор. Нет, я не имею таких иллюзорных надежд. Наука, объясняя эффекты, пользуется уже научно трактованными причинами. В этом смысле она взбирается по лестнице, хотя полной уверенности, что эта лестница не закончится какой-то конечной ступенькой, у нас нет. Но и обратной уверенности, что данная ступенька конечная, несмотря на всю её привлекательность, мы тоже никогда не получим. Это же "для себя", о котором я говорю, действует на самом верху лестницы.

Илья. Чем это не бесконечная лестница творений в духе Дунса Скота или Лейбница?

Фёдор. Это только лестница причин. То же, что стоит над лестницей, в её конце, стремится к цели, но не является всевластным Умом.  Да, собственно говоря, вряд ли в наших силах угадать характер этого причинения. Вряд ли это подражание образцу, как этого хотелось Аристотелю. Речь может идти о двигательных причинах в более узком смысле - о том, что физически тянет или толкает. Вы скажете - и справедливо - что такие причины должны проявлять себя ощутимым образом, что их действие должно быть видимо. На это, правда, можно ответить, что в микропроцессах есть квантовая неоднозначность (чего-то похожего искал в своё время Декарт, чтобы дать человеческой душе возможность воздействовать на тело). Поскольку действие таким образом скрывается от нас, то остаётся чувство неудовлетворённости.

Илья.  Это ты говоришь о таинственности действия от бесконечно удалённой вершины лестницы вниз, на её конечные ступени?

Фёдор. Да. Напомню ещё то, что подсказывает такое понимание. В живой эволюции и в истории, когда после долгого процветания вдруг рушатся животные или человеческие царства, то откуда-то из неизвестных ранее углов рождаются новые силы и создают что-то своё ещё более ослепительное.

Илья. А ты не считаешь, что неживая природа участник этого процесса, также находящийся под воздействием твоего начала?

Фёдор. Сейчас появление жизни на Земле относят ко времени её самого первого охлаждения и в связи с этим очень подозревают повсеместность жизни в том смысле, что она рождается как только для этого возникают соответствующие условия в смысле температуры и подходящего набора веществ. А если это так, то тут же возникает или вернее воскрешается подозрение, что жизнь естественно возникает из неживого. Строго говоря, приходится предположительно сказать, что жизнь в какой-то свёрнутой форме могла существовать всегда.

Да, собственно, об этом давно думали. Телезио выдвигал подходящий аргумент. Он, правда, говорил не о жизни, а об ощущении, но аргумент легко так переформулировать, чтобы он говорил о жизни, да ощущение и предполагает жизнь.

Согласно Телезио, когда мы пытаемся сказать, кто, собственно, ощущает, и говорим о каком-то органе или ткани или просто веществе, мы либо доходим до простых веществ, либо упираемся в составное вещество, которое само ощущает, а его компоненты ещё не ощущают. Но как такое может получиться? Откуда в смеси то, чего не было в составляющих? Телезио считает такое логической ошибкой и настаивает на том, что ощущение было уже в компонентах,  иначе ему неоткуда взяться.

Илья. Мы и правда не знаем, что следует считать развитием – только составление целого из частей или же какое-то чудесное возникновение чего-то нового. В первом случае жизни неоткуда взяться, и аргумент Телезио справедлив. Но как понять возникновение нового? – это остаётся загадкой.

Фёдор. В твоих словах скрыто общее предположение, лежащее в основаниях почти любого подхода к миру, будь он научным или философским. Придётся ещё раз отвлечься. Потом мы вернёмся к жизни.

Мы начинали с сомнительности того, что в физическом мире что-то остаётся низменным. Картина всеобщей обречённости, между прочим, не зависит от того, имеем ли мы дело с универсальным временем или же время нужно относить к чему-то индивидуальному, сохраняющему, между прочим, свою индивидуальность именно тем, что у него есть обладание этим индивидуализированным временем.

Илья. Поясни.

Фёдор. Видишь ли, если одно тело движется относительно другого, пусть и равномерным движением, они не имеют общего времени, хотя времена их связаны друг с другом известными эйнштейновскими формулами. Предполагается, что для каждого из тел отведены часы, которые согласованы друг с другом – можно считать, что они одинаково устроены и были поставлены когда-то одновременно на одно и то же время. Как теперь можно требовать какого-то единства у сложной системы многих тел, движущихся относительно друг друга, если не обеспечено такое единство времени?

Уверенность в нашей собственной смерти подкрепляет наше принятие смертности всего, но, желая набросать целостную картину, мы не имеем в руках такого аргумента. Мы ведь в наших рассуждениях только прощупывали возможность, а не непременность гибели всего.

Михаил. Непременность отсутствует, когда мы говорим о неживом. Не так ли?

Фёдор. Совершенно верно. Человеку как познающему и как производящему такая непременность, между прочим, нужна. Именно на неё он опирается. Это, может быть, единственное априори его знания. Познание живого мира её тоже требует. Но, как мы видели, нет философских оснований её принимать.

Михаил. А ты не преувеличиваешь? Ведь для практического обращения с вещами и даже с жизнью, но как с вещью, достаточно относительного, а не абсолютного постоянства. Да и познание чего-то довольствуется относительным. а не безусловным его постоянством.

Фёдор.  Ты прав. Однако, вещь или система отношений, с которыми имеет дела практика или познание вместе с их окружением или только какими-то его характеристиками на некое время обязательно считаются не меняющимися. Это соответствует наложению категорий понимания на материал ощущений у Канта, но здесь мы имеем дело не только с теоретическим пониманием, но и с практическим тоже, которое, быть может, обладает приоритетом. То, что ты говоришь, означает - практически или теоретически человек понимает ограниченность своего понимания или просто его чувствует. Но существуют положения, когда какое-то понимание полагается вечным. Человек понимает, что означает в таком случае вечность. Вечность соответствует кантовским идеям (точнее, идеям разума), и, как представляется, её появление в познании отделяет человека от животного мира. Впрочем, когда речь идёт о желании продлить своё существование, то оно почти всегда потенциально вечно - нужна особая мудрость, когда продолжение существования нужно для того, чтобы завершить нечто определённое, а после этого ты даже жаждешь небытия.

Илья.  Между прочим, когда ты говоришь о вечной гибели всего или о вечном желании продлить свой существование, то не впадаешь ли ты в противоречие с собою. Если ничто не вечно, то и перечисленные состояния не могут быть вечными.

Фёдор. Действительно, нужно поправиться. Сам твой язык, между прочим, подсказывает поправку. Ты ведь говоришь не о сущих или (по аристотелевски) о сущностях, а о состояниях. Им как раз не хватает вечного бытия. Это "экзистенции" - так назвал их Киркьегор. Им всегда угрожает исчезновение. То, что всё существующее всегда не есть сущее, пожалуй вечно, но эта вечность имеет характер отрицания.

Однако, на чём мы остановились? На жажде продолжения существования всем живым, так сказать превращения его в бытие. Можем ли распространить это на всё существующее вообще? Наши обсуждения показывали, что в принципе всё может оказаться таким, но отнюдь не то, что всё им является. На вечность претендуют только неорганические единицы. Если мы принимаем преходящесть всего, то это означает, что в мире нет непроходимой границы между живым и неживым.

Илья. По древнему, восходящему к Фалесу, если не ранее, учению, всё одушевлено. Это же, между прочим, утверждали итальянцы (упоминавшийся Телезио) и французы (Дидро).

Фёдор. Здесь перед нами такая дилемма. Если жизнь всегда сопровождает существование, то как она себя проявляет. Хотя я говорил о спонтанности, как о самом выразительном качестве жизни, но спонтанность – не исчерпывающая характеристика. Для её проявления нужен постоянный приток энергии, т.е. постоянный обмен веществ или попросту питание. А для этого нужны уже довольно устойчивые материальные образования типа молекул с возможностями очень сложного внутреннего строения. Если же верить современной космогонии – а мы не в праве её игнорировать -  то на начальных минутах после «Большого взрыва» высокая температура вообще не допускала устойчивых частиц.

Если же мы будем считать, что жизнь возникает в какой-то момент, а до этого момента всё вещество безжизненно, то как понять такое рождение жизни?

Жанна. Рождение нового вообще понимать трудно. Следы жизни на Земле появляются после её остывания. Мы пока ничего не знаем о космических просторах, но вряд ли современные формы жизни, такие как высасывание энергии из окружения, размножение и генетический код, мы найдём в мире высоких скоростей и температуры. На предполагаемых ранних этапах вселенского развития происходящее вообще смахивает на древний хаос, хотя что-то суммарное космологи всё-таки произносят. Но, может быть, хаотическая неопределённость – не только связана с нашим недостаточным знанием, а имеет физическую природу, что давно замечено для  соотношения неопределённости.

Фёдор. Ты хочешь сказать, что что-то, предваряющее позднейшую жизнь,  имелось уже и тогда?

Жанна. Да. Конечно, чужая жизнь - что-то такое, чему до какой-то степени можно успешно подражать, что можно имитировать. Но твоя собственная жизнь отделяет тебя от всего остального мира. Если физический мир полностью описывается его физической картиной, то всё своеобразие жизни должно быть производным от способов составления физических элементов в некое специфическое целое. Но это немыслимо, хотя защитники такой точки зрения существуют.

Илья. То, что ты говоришь, это модернизированный аргумент Телезио.

Жанна. Я этого не буду отрицать.

Михаил. Но скажи мне вот что. Как ты представляешь существование жизни на ранних этапах существования Вселенной. Или ты сомневаешься в принятой сейчас космогонической картине?

Жанна. Она сомнительна по  суровым критериям, о которых мы говорили, но на каждый момент времени мы должны считаться с тем, что предлагает наука, и согласовывать с нею свои гипотетические построения. Мне кажется, что во время больших скоростей и энергий, во время, когда общая хаотичность не давала ещё возможности выделиться чему-то устойчивому, жизнь проявляла себя только как тяготение к этой устойчивости и опять же как некая спонтанность, способная выбирать направление для "скатывания" к этой устойчивости. Акты выбора, если они имели место, не были нами наблюдаемы, если бы нас каким-то чудом перенесли в эту обстановку. Они скрывались бы от нас в неопределённости. Про такую неопределённость и говорят известные соотношения между импульсом и координатами, энергией и временем и тому подобное. Мы не увидели бы целенаправленности в малом, потому что слишком малые доли проявляли бы себя. Что касается целенаправленности в большом, то это прослеживается, но наука, следуя  Дарвину, привлекает для объяснения только движущие причины и конкуренцию.  

Фёдор. Однако, если мы решили предполагать целенаправленность, то о какой цели должны мы говорить?

Жанна. Переход от хаоса к порядку - впрочем, мы не вправе предполагать, что когда-то был чистый хаос...

Михаил. Мы не вправе предполагать даже, что когда-то было чистое "когда-то" в смысле единого времени.

Жанна. Речь может идти о хаосе как фоне сложившегося порядка. Само стремление к победе порядка - стремление существующего хаоса и сохраняется, только пока хаос не исчез. Собственно, что такое власть времени и обречённость всего на гибель, о которых мы говорили? Это неизбежность победы хаоса над уже сложившимся порядком. Может быть, можно сказать здесь о совместном действии пространства и времени, но это всё-таки, образное выражение.

Так вот в конечном счёте к этому хаосу, неоформленному и не обрётшему постоянства (а формы и суть средства такого обретения) и относятся обе тенденции, о которых говорили по очереди Федя и я. Хаос, с одной стороны, стремится  обрести увековечивание, с другой стороны сам губит уже обретённое. В нём и стремление к устойчивости, и он же постоянно подводит мину под эту устойчивость. Всё конкретное гибнет, но каждая гибель оказывается новой ступенькой лестницы, ведущей далее вверх.

Михаил. Но мне хочется задать вопрос к уже говорившемуся. Если в малых «квантовых» бросаниях скрыт целенаправленный выбор, то откуда в них статистически чёткая картина? Почему вырисовывается гауссова кривая или что-нибудь в этом роде?

Жанна. Может быть, физически эксперименты проводятся в условиях, когда хаос оттесняется и ему не даётся пространство для творчества. Но знаете, похожая мысль Шрёдингера, что жизнь высасывает из окружения упорядоченность (отрицательную энтропию), тоже не иллюстрируется достаточно досконально.

Михаил. Значит, жизнь, ведомая хаосом, прячется от нас в квантовую неопределённость и проявляет себя только на клеточном и более высоких уровнях?

Жанна. А полнее всего в человеке – во всяком случае, среди известного нам. Видите ли, что часто вводит в смущение, когда думаешь о происхождении космоса (в смысле организованности, упорядоченности), так это то представление должно обладать всеми достоинствами порождаемого. Отсюда желание найти начало, и это начало будет действительностью всех совершенств. Это если не происхождение, то мощная опора теизма, а он, несмотря на разветвлённую аргументацию, запутывается в осмыслении мирового несовершенства и наличия в мире зла. Хаос Гесиода вроде бы не содержит в себе ни добра, ни зла (ему близка пра-бездна Бёме, из которой, однако, рождается Божество, а не непосредственно мир).Здесь же сам Хаос мыслится как устремлённость к космосу.

Я дам иллюстрацию, связанную с темой смерти, о чём мы говорили. Одно дело наша личная убеждённость в смерти, о чём мы говорили. Другое дело - попытка объяснить эту неизбежность. Организм всё время борется за жизнь. В этой борьбе он специализируется и специфицируется. Приходит время, когда он, казалось бы, надёжно защищён от гаммы обступающих его опасностей, как вдруг какая-то совершенно новая опасность схватывает его за горло смертельной хваткой.

Я говорю в основном о человеке с его медициной и медицинской наукой. У животных проще - старость ведёт к слабости, и ты становишься добычей того, кому раньше не был доступен. Но что можно сказать об этих  механизмах смерти и об устремлениях Хаоса?

Михаил. Твой Хаос, который мне всё больше и больше хочется именовать старинным именем "природа" заботится о расчистке места для новых поколений. Он, видимо, потерял надежду на бессмертие индивида, а связав бессмертие с вереницей поколений, заботится о том, чтобы старые поколения давали место молодым.

Илья. Для Аристотеля вечной была видовая панорама жизни.

Жанна. Но сейчас мы так не думаем. Приходится человека признать  последней достигнутой целью в эволюции. И что же, бессознательный Хаос, ища бессмертия чего-то неведомого нам, но связанного с нами, нависает над теми же нами той самой неизбежностью смерти, о которой мы говорили?

Илья. Даосы считали возможным личное бессмертие и искали его. Ты не считаешь ли, что человеку следует и задуматься о бесконечном продлении жизни?

Жанна. Я думаю, что, пока продолжает существовать Хаос, существует и смерть. Хаос не чужд того, что мы называем противоречием. Одна попытка увековечения губит то, что исполняло прошлые попытки. Хаос ищет бессмертия человечества, может быть, цивилизованного человечества, а потому обрекает на смерть отдельных людей.

Фёдор.  А откуда берётся отдельность отдельного человека?

Жанна. Хороший вопрос. Ты хочешь, чтобы я дала ответ на своём языке?

Фёдор. Разумеется.

Жанна. То, о чём ты говоришь, явно принадлежит действительности, но ускользает от физики. Я имею в виду то, что с оглядкой на Витгенштейна можно описать только метафорически. Это ощущение самого себя, своей собственной отделённости от всего остального и, более того, сюда входит центрированность мира вокруг тебя. Я думаю, что это следствие непосредственной приобщенности к Хаосу того физического аппарата, которым является наше тело. Эта приобщённость дарует нам нашу свободу, поскольку Хаос, нашедший тело для собственной конкретизации, даже создавший это тело, поднимает такое тело над другими телами, делает его свободным. Здесь более полно, чем в предшествующем по эволюции органическом мире, Хаос отождествляется с устроенностью - а это как раз то самое, к чему он всё время стремится. Цель эволюции - не просто высоко организованные тела, но тела, наивысшим образом воплощающие свободу Хаоса. И постоянный поиск таких тел с их специфической и индивидуальной организацией означает постоянное порождение индивидуального. Рождённая индивидуальность, родившись, отказывается умирать и уступать место другой, лучше организованной. Хаос отпускает свои собственные порождения в отчуждённость и взаимную борьбу.

Фёдор. Да ведь согласно тебе за всем стоит Хаос. А потому всё приобщено ему, а значит  находится в родстве друг с другом.

Жанна. Это родство тех, кто каждый сам по себе получил отдельное существование. Оно только становится ещё более интенсивным при возвращении к Хаосу, но это не уничтожает различия. Хаос ищет  постоянство в организованном многообразии.

Впрочем, мы перескочили от просто самосознания, выражающего Хаос индивидуализированный, к Хаосу общему, который проявляет себя то ли в подъёме к себе индивидуальности, то ли в увлекающем движении вниз. Возможно и то и другое – Хаос амбивалентен; мы уже говорили об этом.

Многое можно объяснить, принимая такое видение. Полое размножение предохранят от застывания, всё время выбрасывая новые генетические варианты и тем самым давая возможность совершенствования и более универсальной приспособляемости, а значит и устойчивости. Это, впрочем, достаточно продумывалось биологами и здесь я не скажу ничего нового. Разве что замечу следующее – смешение и бесконтрольное разнообразие соответствует Хаосу как собственно Хаосу, всё время как бы оседающему к первоначальной неразличимости, тогда как выбор отражает жажду оформления. Впрочем, когда я говорю о первоначальной неразличимости…

Илья.  Можно на секунду перебить?

Жанна. Разумеется.

Илья.  Я хотел сказать, что ты здесь перекликаешься с Анаксагором, у которого «до начала времён» всё находилось в совершенном смешении, и только потом Ум стал из этой смеси организовывать что-то оформленное.

Жанна. Мне кажется, что от этого «начала времён» нужно отказаться. Если мы будем углубляться в прошлое по следам развивающейся космогонии, и наши данные позволят нам предполагать единое для Вселенной время, то конкретному изучению будет доступно всегда только состояние, уже отстоящее от начала, и оно не может быть предельным Хаосом, независимо от того, полагаем ли мы в начале времён точку отсчёта нолём или минус бесконечностью. Я-то думаю, что последнее произвольно - разве можно вообразить однородный физический процесс (да ещё желательно, чтобы он был циклическим!), прямо в ноле начинающийся?

Неразличимость Хаоса поэтому только относительна.

В эволюции и просто в устойчивой жизни рода разделение полов соответствует двум аспектам Хаоса, хотя это соответствие не следует толковать слишком точно. Женское начало ближе к неоформленности, рождающей форму. Мужская - к полному раскрытию возможностей, такой формой предоставляемых. Впрочем, от женщины можно ждать, что она заметит что-то скрытое от мужчин. Во всяком случае - от мужчин чистого типа, потому что существует и мужчины, близкие по своему типу к женщине, и женщины, близкие к мужчинам.

Фёдор. А что бы ты могла сказать в этой связи о самой динамике родовой жизни и об эволюции?

Жанна. Наверно, для поддержания родовой жизни и для её возможного развития не обходимо периодическое возвращение к первоначальному полюсу Хаоса, т.е. к его неразличимому смешению. Такое смешение открывает новые возможности, и из них производится выбор, то ли путём конкуренции, то ли без неё, а просто в силу вымирания неприспособленных, как это утверждал ещё Эмпедокл.  Но не исключено, что существуют и способы выбора, скрывающиеся от нас в квантовых провалах.

Фёдор. То целевое направление эволюции, о котором ты уже говорила?

Жанна. Да, и поскольку я уже начала ходить по кругу, то похоже, что мне пора закругляться.

Фёдор. Твоя мысль очень уж гипотетична.

Жанна. Я согласна. Но, видишь ли, весь наш сегодняшний разговор вскрывает гипотетичность самого разнообразного знания. Мы начали с гипотетичности математики, да ещё гипотетичности такого рода, которая не может стать действительностью или во всяком случае такая возможность сомнительна. Метафизика была отвергнута когда-то Кантом на том основании, что суждения её не могут быть подтверждены эмпирическим опытом. Но сейчас мы убеждаемся, что суждения физики всегда висят в воздухе. Поскольку нет априорных оснований считать, что математическое может стать физическим, да ещё математическое не человека, хотя бы и обладающего бессмертием, а самого Бога. Всё это даёт право на построение метафизических гипотез. Они ничем не хуже других.

Фёдор. Но ты не забываешь ли о кардинальном различии? Когда мы описываем воображаемый мир, в котором можем построить ту или другую математику,  мы отнюдь не предполагаем, что реальный мир может вдруг стать воплощением воображаемого. Нам это, собственно, и не нужно. Здесь мы имеем дело с возможностью нереальной…

Жанна. С возможностью невозможной.

Фёдор. Если хочешь, да. О такой возможности, между прочим, говорил ещё Аристотель, имея в виду возможность безграничного, апейрона. Она, кстати, возникает на границе конечных возможностей, а потому родственна кантовским идеям. Возможности конечного каким-то образом реализуются, или нам так представляется, по крайней мере. Пограничная возможность нереализуема, но именно она плодотворно кладётся в основу.

Жанна. Но когда мы переходим от математики к физике, мы предполагаем реализацию и пограничных возможностей. Так точно и метафизика может быть гипотетичной. Её отвержение – Кантом или Витгенштейном – было основано на вере в существовании точного знания в области каких-то важных вещей, касающихся естествознания. Но сейчас у нас нет больше оснований считать естествознание точным в том смысле, как это понималось. Хотя прагматическая польза, разумеется, остаётся. О точности можно сейчас говорить только относительно получаемого из фундаментальных математических гипотез, да и то эта тема заслуживает особого рассмотрения.

Гипотетичная метафизика существовала, начиная с Лотце. Её великие представители – Уайтхед и Николай Гартман. Но её фоном была эмпирическая философия, казавшаяся осмыслением чистого в своей данности опыта, а потому метафизика представлялась вторичной, если не третичной. И хотя сейчас мы не можем повысить её ранг, тем не менее её соперники теряют свой безусловный приоритет.

Фёдор. Скажи, Жанна, не чувствуешь ли ты близость конца рациональной философии?

Жанна. Да нет. Речь идёт скорее об осознании рационализмом своих границ. Речь идёт о недостижимости начала на пути рационализма.

В чём вообще должно было бы заключаться такое рациональное начало, скажем, при описании путей эволюции или даже стабильного мироустройства? Кант явно указывал границу в этом направлении. Но соблазн был слишком велик. Вспомните Гегеля с его порождением фактически всего мироздания из понятия абстрактного бытия. Европейцу хотелось сравнять себя с Богом-творцом из ничего. Кстати, такой Бог-творец возникает на пути мужского понимания. В западных религиях творение из ничего есть дальний отголосок вавилонского умервщления рождёнными богами своей матери-богини. Признание границы означает отказ от такого начала. В начале стоит не ничто, а Хаос. Функция мужского начала, не его убиение, а его гармонизация.

Рациональное мышление не должно отказываться от понимания всего конкретного. Но такое понимание должно основываться на чём-то принимаемом не рационально. Рациональное понимании такой основы способно только передвинуть границу, но не устранить её.

Но мне кажется, что я вторглась в вашу мужскую область и насильственно ввожу там свои порядки. Наверное, пора остановиться и послушать ваши возражения и вообще ваши мысли. Ведь я тебя, Федя, перебила.

Фёдор. Что ж. Попробую вернуться. Мне нравится, Жанна, что ты говорила, но себе я положил правило не выходить за рамки предположений, непосредственно толкующих собранные данные. Истолкование тоже, конечно, является метафизикой. Но более осторожной по стилю.

Ты, Жанна, всякое разрушение связываешь со смертью, и хочешь найти жизнь и смерть в самых элементарных явлениях, известных нам из физики. Иначе жизнь возникает как бы ниоткуда на уровне сложных химических соединений, а это ещё более загадочно, чем существование жизни на самом элементарном уровне. И, если мы не отвергаем современную космогонию, то мы не можем сказать, что жизнь существовала всегда именно в тех формах (т.е. на основе тех же органических соединений), в которых мы сталкиваемся с ней сейчас.

Я считаю честным заявить о границе нашего знания в вопросе о начале жизни.

Но во всяком случае мы имеем дело с каким-то неорганическим созидательным процессом, опираясь на который проявляет себя с какого-то момента и органический процесс. Неорганический процесс доступен изучению, хотя и ускользает от полной определённости. А это означает существование системы постоянств типа пространственно-временных форм и законов сохранения. Продвигаясь назад во времени в сторону неограниченного возрастания температуры (Хаоса), мы, вероятно, будем встречаться с отказом каких-то конкретных постоянств, но суть в том, что само изучение возможно только, пока что-то постоянное есть. Полный Хаос от изучения ускользал бы.

Нужно признать также линию жизни, воздерживаясь от суждения о том, вырастает ли она из чего-то ей родственного и предшествующего. Мы не знаем также, возникла ли она только на Земле или вырастает в подходящих условиях во всей Вселенной, как только такие условия возникнут. И для неживой и для живой природы характерна картина, подсказывающая телеологическое понимание. Общей целью представляется здесь устойчивость, т.е. преодоление времени. Равномерное перемешивание (увеличение энтропии) и попадание в «чёрные дыры» даёт, правда устойчивость, если не вечную, то очень продолжительную, но ищется устойчивость чего-то открытого и живого, находящегося во взаимодействии с окружением.

Конечно, наша убеждённость в двух противоположных сторонах процесса имеет различный характер. Убежденность в смертности всего живого (но не самой жизни) исходит из нашей собственной смертности и имеет такую же уверенность. Жизнь же как преодолевающая смерть предстаёт перед нами, когда мы углубляемся в историю развития жизни и человеческой жизни в частности. Если мы погружаемся в один уровень этих процессов, в то, что лежит уже в далёком прошлом, то перед нами проходят зарождение, развитие, расцвет, а затем зрелость, окостенение и гибель чего-то индивидуального – типа животных или человеческой культуры. Я хочу заметить здесь следующее. Гибель представляется здесь каким-то тупиком – эволюция подошла к концу, развитие закончилось и остаётся только убогое прозябание. Но вдруг откуда-то из безвестных глубин начинает быть новая сила. В начале она представляется даже иногда чем-то грубым и неотёсанным в сравнении с погибшим, но в дальнейшем она производит новые и удивительные формы жизни и культуры. Так что общее развитие не прекращается, а находит себе новое выражение.

Впрочем, мы уже много об этом говорили.

Михаил. Меня, однако, интересует вот какой вопрос. Мы очень подробно говорили о сомнительности какого-то вечного существования, но когда мы перешли к более детальным рассмотрениям, то оказалось, что вечного очень много – Хаос, его постоянное преодоление, индивидуальная смерть… Не противоречим ли мы сами себе?

Фёдор. Устойчивость неустойчивости может претендовать на вечность. Здесь нет симметрии между утверждением и отрицанием. Это язык стремится найти опору для выражения в бытии, а потому и предоставляет нам симметричную картину. А вообще задумайтесь. Если брать предельную и нереальную картину, а которой нам говорила Жанна, то что могла бы означать вечность Хаоса? Означать оперативно, в смысле возможности какой-то проверки или хотя бы слабого подтверждения. Да ровным счётом ничего, потому что Хаос, чтобы иметь возможность давать нам ответ на вопросы, должен включать в себя что-то постоянное, а потому не хаотичное.

Но мне хотелось бы затронуть в этой связи ещё одну тему, а именно тему познания. Ясно, что оно имеет первоначальный приспособительный смысл, а поскольку приспосабливаться можно только к существующему, то познание и стремится постичь существующее, да ещё в пределе выявляя его сущие, стремящиеся к вечности основы. Если всё-таки мы убеждаемся в эфемерности и смертности сущего, то это расширение первоначальной приспособительности. Впрочем, не следует этому удивляться. Первоначальный порыв направлен на наше самосохранение. Он должен дать нам пищу и вообще обеспечит нашу жизнь. Поэтому знание существующего включается в знание оперирования с ним, в знание уничтожения или управления.

Животным, разумеется, нужна устойчивость встречаемых (или выделяемых ими из среды) предметов. Трудно ожидать, чтобы такую устойчивость сопровождало ощущение их вечности или хотя бы желание такой вечности. Но когда мы переходим к человеку, картина меняется. Здесь, собственно, нужно говорить не об одном, а о двух изменениях, которые тесно связаны друг с другом. Одно есть превращение объекта устремления или желания просто в объект или предмет; если хотите – переход к объективности. Второе – это изъятие таких предметов или их сторон из контекста «потока», сцеплённости с внутривременным окружением и перемещение его во вне-пространственность и вечность. Оба явления видимо связаны с переходом к языковому поведению и возникновением сознания.

У  животных стремление к продолжению индивидуального существования могло иметь границы. Оно действовало, пока были силы для продолжения жизни. Параллельно действовал инстинкт продолжения рода. Когда же силы угасали, могла слабеть и сама воля к жизни.

Я не хочу сказать, что в отношении этих жизненных инстинктов человек стал другим. Скорее наоборот – знание вечного может идти против его инстинкта угасания («дать дорогу другим»), и здесь нужна особая мудрость для принятия смерти спокойно или даже для осознания её как неотъемлемой части твоего существования – Хайдеггер считает это подлинным достоинством существования. Но заложенное в инстинктах стремление к вечности нашло теперь сознательное языковое выражение.

Познание, как познание в слове, стремится к вечным истинам и даже строит свои системы как системы вечного. Разумеется, ему приходится всё время наталкиваться на крушение своих построений, Но каждый раз оно строит новую систему, исправляющую ошибки старой, что, разумеется, не гарантирует отсутствие новых ошибок.

Между прочим, в этом стремлении к вечности корень того, что Кант считал априоризмом познания. Кант считал, что сами формы знания (категории) определяются этим априоризмом. Но априорно здесь только само стремление, а не его конкретные результаты. Они могут терпеть крушение и заменяться на другие, которые выявляются в предыдущем опыте или же угадываются неким глубинным синтезом – мы ведь уже говорили о роли Бога в мусульманской и западной науке.

Абстрактных оснований считать, что так всегда и будет, у нас нет. Но пока, когда нас отбрасывает назад очередная неудача, всегда откуда-то, из какого-то резерва, извлекается что-то подходящее, какие-то не испробованные или забытые средства. Конечно, при этом важнейшее значение имеет сохранение подчинения мира числовым соотношениям, сохранения такого положения вещей, при котором мы можем что-то считать и что-то мерить. Если Хаос одержит победу как равномерность смешения (положительная энтропия), сначала станет невозможной наука, а за ней    и сама жизнь. Это-то нас вроде и ждёт при наиболее принятом варианте космогонии, но понимание может ещё измениться.

Илья. Хороший результат при стремлении к увековечиванию. Впрочем, если увековечивание - это застывание, то всё и должно застынуть. Но, если принять вариант Жанны, то Хаос ищет для себя всё более совершенные и устойчивые проявления и за каждым крушением ждут новое творчество и новая опора и новая жизнь.

Но чем дальше мы смотрим, тем расплывчатей становится картина. А мы ведь ищем оснований. И именно эти основания уплывают от нас куда-то в туманную даль Хаоса.

Жанна. Здесь граница рационального, а с нею и граница истины. Истина относительна. Одна истина зависит от другой, т.е. она истинна лишь постольку, поскольку предполагает другую истину. Но ряд истин уходит в бесконечность к недостижимой Истине.  Впрочем, об истине нужно поговорить особо. Сегодня мы говорим о вечности, а может быть, ещё о бытии.

Илья. Ты хочешь сказать что-то о бытии. Позвольте сначала историческую справку.

Жанна. Позволяем.

Илья. Бытие у греков что-то торжественное и претендующее на длительность, если не на вечность. Оно противоположно существованию или наличию. В греческой философии произошло разделение мысли  вокруг этих понятий. Субъекты бытия это сущности («усии»). Слово означает что-то вроде постоянного владения. Именно эти-то сущности пребывают, борясь со временем. Для Платона усии вообще принадлежат идеальному, а не реальному миру. У Аристотеля они либо временно-пространственные, подверженные гибели субъекты, либо небесные, не подверженные гибели (светила), либо же вечные не материальные умы.

То, что происходит с этими сущностями,  существенно. Это причинные линии. К сущностям имеет отношение логическое царство, основанная на отношениях форм друг с другом силлогистика. Вне сущностей царство случайное со случайными причинными линиями. Про то, что в этом царстве можно сказать, что оно существует (есть в наличии), но нельзя сказать, что оно есть (есть сущее).

У стоиков логос пронизывает всё существующее. В этом тотальность их учения. Два наличные «обстояния» могут быть связаны логосом. Рассуждение у стоиков поэтому тоже тотально и может коснуться всего внутри мирового процесса. Единицей рассуждения является словесная фиксация «обстояния» (положения дел), а переход от одних обстояний к другим происходит по правилам логоса. Отсюда, между прочим, наше слово «логика». Случайностей у стоиков нет. Логос правит всем внутри космоса. Ничто не ускользает от него, и никакие эйдосы для этого познания не нужны. Всё понимание восходит к Гераклиту.

Михаил. Декартовская физика было отходом от Аристотеля к Стое. Декарт построил числовую прямую, состоявшую, правда, не из всех вещественных чисел, а только из подкласса алгебраических чисел, и применил координатный метод. Тем самым, как ему казалось, всё относящееся к пространству и времени, улавливалось числами. Не знаю, случайность или нет, что направление было названо рационализмом. Латинское ratio отнюдь не ум, а соответствует греческому «логосу». Ratio способно приникнуть в любые частички мира, которые уму должны представляться  неприступными и случайными. Отсюда и возвращение к строгой определённости стоиков, носившей уже причинный характер и не распространявшейся на человеческие души, которые, впрочем, считались внепространственными.

И здесь я остановлюсь, чтобы задать вопрос Феде и Жанне. Как они относятся к этим двум картинам.

Фёдор. Если Жанна не возражает, я начну первым.

Жанна. Почему бы я возражала? Сегодня ты говорил первым.

Фёдор. Декартовская картина как будто устарела. Она предполагает непрерывность и бесконечную делимость вещества, между тем, как мы сталкиваемся с квантованным, порционным веществом, правда, не застывающем в таких порциях, поскольку они превращаются друг в друга. Но когда какие-то комбинации таких взаимопревращающихся порций надолго застывают (физики говорят, что их составные части проваливаются в «чёрную дыру», если и не навсегда, то очень надолго

), то сами эти «чёрные дыры» аналогичны аристотелевским «усиям», но аналогия эта далеко не полна. Здесь нет аналога форме (эйдоса), которая создавала и держала бы эту усию. Наше «сущее» в конце концов держится комбинацией законов, безразлично, вечны они или нет.

Беспредельная дробимость вещества вызывает большие сомнения. У нас не хватает средств расщеплять пространство за известными пределами, да и неизвестно, имеет ли смысл говорить о таком расщеплениями. Однако, мы не можем с уверенностью сказать и противоположное, а именно, что в конечном счёте всё квантуется, всё дробится на мелькающие единицы типа электронов, которые тоже не атомарны в демокритовском смысле, поскольку они вступают в реакции и исчезают, сливаясь с противоположными частицами. Кстати, античные атомы  Левкиппа и Демокрита вечны, а потому не могут быть приняты из априорных оснований.

Я боюсь говорить что-нибудь о живых телах, но ты, может быть, добавишь что-нибудь к сказанному, Жанна?

Жанна. Живые тела для Аристотеля были основанием для введения его реальных усий. Да, мне хочется кое-что сказать, хотя эти мысли имеют такой же предположительный характер, как те, которые я  уже высказала.

Илья. Но мы, послушав, что Миша говорил о предположительности в математике, не стыдимся предположительности вообще, хотя твоя и Федина предположительность другие.
Жанна. Но они не очень отличаются от предположительности в физике. Это предположения о действительном. В математике нас больше интересуют следствия предположений, действительности которых мы не предполагаем.

Илья. Тут нечто загадочное. Аристотель, обсуждая в «Метафизике» возможность, говорит в основном о реально возможном, о том, что могло бы в каком-то месте и времени осуществиться. И вдруг он делает замечание, что беспредельное, апейрон, тоже нужно считать возможностью, хотя по его собственному учению реально апейрон не может осуществиться. Впрочем, Жанна, тебе слово.

Жанна. В живых единицах к целевой организации вещества добавляется присутствие самого Хаоса. Этот-то Хаос, нашедший для себя материальную опору или даже создавший её, и даёт живой единице и бытие сущности и единство. Без него не было бы никакой аристотелевской формы. Хаос связует в единое целое разные части живого и Хаос же продлевает тождество живой единицы с собою от настоящего к будущему. Ведь у живого другая преемственность времён, чем у мёртвого. Это хорошо описывал Бергсон, рассуждая о длительности. Что же касается единства, разбросанного по пространству, так это вообще трудная проблема.

Илья. Но с ним связан мой последний вопрос. Он о греческом «Одном» (hen). Его подробно разрабатывали новоплатоники афинской школы, иногда считая его началом эманации, иногда её вторым членом, порождением чего-то, что стоит над Одним. Важно, что это Одно стоит над Бытием. Его нельзя назвать сущим. В нём не ариткулировано содержание, составляющее разнообразное богатство сущности.

Платоники ссылались на Платона, а именно, на диалог «Парменид», где сам Парменид показывает Сократу рассуждением, что чистое Одно отталкивает от себя Бытие и вообще любую множественность, в если всё же Одно и Бытие соединить, то порождается масса определений. Когда читаешь диалог, иногда кажется, что все рассуждения имеют пародийный характер, но новоплатоники понимали всё иначе. Впрочем, я хочу, чтобы вы высказали своё отношение к Одному именно в новоплатоновском понимании.

Фёдор. Я не могу здесь ничего сказать. Одно, о котором ты говоришь, стоит ведь над временем и, видимо, объемлет собою всё пространство, если мы вообще не пойдём за Проклом и Дамаскием не отбросим его за пределы пространства. Тогда непонятна его связь с космосом, и оно ускользнёт от нас в область новоплатоновских конструкций. А что сказала бы ты, Жанна?

Жанна. Помните, как мне пришлось рассуждать о Хаосе. Когда я хочу сказать о нём что-то реальное, осязаемое, то я говорю скорее о хаотичности мироздания на том или ином этапе его развития. Но мне, естественно, хочется додумать до конца и охватить мыслью предельный случай. Наверное, мне не хватило бы смелости, если бы я не знала, что мысль, стремясь к устойчивости, уже в математике предполагает, что мы достигли предела, и, утвердясь на нём, проводит свои конструкции. Хотя у нас, как уже здесь говорилось, не совсем такая ситуация, но дайте – я всё же предположу, что имею дело с предельным Хаосом в в его чистейшей первозданности.

Вот он один может претендовать на имя Одного. В нём нет ещё никакой множественности, нет никакого бытия, в аристотелевском или платоновском понимании. Но его нельзя поместить ни во время, ни в пространство. В них множественность уже есть. Это Хаос мыслим как предел хаотического в мире, но от физики он ускользает, как мы уже сказали. Наблюдаемым, вернее, вычисляемым Хаос оказывается уже внутри физического времени, когда он уже не является Одним, когда он борется со временем за вечность и с пространством за скрепление его воедино, пытаясь быть и Одним и Многим сразу.

Но не кажется ли вам, что уже поздно и мы несколько заговорились?

Михаил. Твои слова резонны. Но, может быть, у нас ещё есть время подвести итоги нашего пространного обсуждения?

Жанна.  Да еще можно выпить по чашке чая. Но кто будет подводить итоги? Как ты думаешь?

Михаил. А ты разве не согласишься на такую роль?

Жанна. Вряд ли мои догадки примут все, и в итоги они не могут попасть.

Михаил. Но и Федя говорил много догадками.

Жанна. Всё же меньше, чем я.

Михаил. Что ж! Я не буду возражать.

Илья. Я тоже согласен.

Фёдор. Придётся, видно, согласиться и мне. Давайте тогда вспоминать.

В начале Миша рассказывал нам, как можно пытаться вообразить себе построение предметов арифметики. Так мы пытаемся получить не просто какую-то воображаемую математику, но математику, привязанную к миру, хотя и не столь уж очевидным способом. Арифметический ряд строится в предположении, что внутри мира есть какое-то физическое постоянство. Я беру самую общую формулировку для того, что излагал нам Миша. Кроме того, мы предполагаем, что мы сами или вообще какое-то существо, подобное нам, может продлить своё оперирование над построенными и могущими быть построенными комбинациями (они являются представителями натуральных чисел) неопределённо долго.

Михаил. Твой пересказ правилен. Хочу только подчеркнуть, что я совершенно не касался вопроса о доказательном манипулировании с предложениями арифметики, а говорил только о построении её предметов.

Фёдор. Чтобы расширить арифметику, приходится прибегнуть к интуитивному понятию эффективной вычислимости. Речь шла об операциях эффективного вычисления, которые способен эффективно создать идеализированный человек. Если речь идёт о вычислениях над числами, то, опираясь на индукцию (или на опыт), мы можем указать что-то вроде общей формы для таких вычислений, но надеждам на какое-то доказательство для нашей догадки  суждено остаться тщетными.  Отсюда, между прочим, следует, что надежда на точное определение случайности также т тщетна, хоть и подкреплена нашим опытом вычислителей.

Описанные объекты являются предметом того, что ты, Миша, отнёс к математике первого рода. Но ты расширил математику, рассказав нам и о математике второго рода.

В этой второй математике мыслится идеализированный субъект, который обрабатывает не только объекты, построенные им самим или другим таким же субъектом, но обдумывает и строит процедуры, обрабатывающие источники неизвестного происхождения. В первую очередь такими источниками могут быть арифметические функции. То, что мы ничего не знаем об их природе, фактически означает, что наши  эффективные функционалы должны быть применимыми к произвольным арифметическим функциям. Такие функционалы уже рассматривал Брауэр, хотя его философская установка не давала ему возможности такой резкой формулировки, как твоя, Миша. Брауэр же сформулировал два интуитивных принципа, давших возможность построить содержательную теорию, которую называют обычно интуиционистским анализом.

Миша изложил и более сильное (и позднее) расширение анализа принципами, обобщающими два принципа Брауэра, которые принадлежат Спектору. Миша, они позволяют развить более мощный анализ? 

Михаил. Разумеется, да, но они появились не ради этой цели, а как средство интерпретировать анализ классический. Я не касался этой темы, поскольку она требует обсуждение логики, а этим мы сегодня не занимались. Но, Федя, ты кончил обзор моего изложения математических вопросов, и теперь у меня вопрос к Жанне, представляющей здесь радикальную метафизику.  Жанна, что ты можешь сказать о математике и её основах и можешь ли ты связать их с Хаосом?

Жанна. В совокупности то, что Миша говорил о математике первого рода, сводится к какой-то остановке движения и увековечиванию распоряжающегося «Я». Можно сказать, что это отражает оба первоначальные устремления Хаоса, т.е. устремление к увековечиванию и сохранение спонтанности и власти Хаоса в этом увековечивании. Это совместно и нереализуемо, но имеет ту самую предельную возможность, о которой мы говорили. В математике оба устремления доведены до логического конца. Я утверждала здесь, что человек – высшее воплощение Хаоса. Поэтому такая математика – высшее из выпавших на его долю орудий познания и власти. Конечность свойственна этому воплощению. И здесь я должна прибавить кое-что к сказанному. Хаос при воплощении должен отречься от себя, от своей всеобщности, при этом оставаясь собою. Хаос индивидуализируется; эта индивидуализация и оборачивается конечностью. Но что-то превышает конечность. Превышает сам Хаос, каков он был до «оконечивания». Можно превышение назвать бесконечностью, но здесь уже предлагалось лучшее слово – «неизвестность». Поэтому математика второго рода так же естественна для воплощённого Хаоса, как математика первого рода.

Вот, пожалуй, что я могу добавить.

Фёдор. Спасибо, Жанна. Я могу теперь вернуться к обзору.

Мы пропустили логическую тематику и не знаем, какую математику можно развить из полученных аксиом и притом так, чтобы она удовлетворяла самому сильному представлению об истине. Для математического естествознания была использована математика очень сильная (а состав математики и требования к ее истинности обратно пропорциональны!).  Сама эта математика могла родиться только при попытке человека взглянуть на математический мир глазами Бога, как будто Бог во время Возрождения  довёл своё вочеловечивание до такой степени).

Михаил. Классический анализ, о котором ты говоришь, и истолковывается в интуиционистском анализе, но к самому интуиционизму остались вопросы. Есть и другие перспективы и проблемы, с ними связанные. Давай, пропустим эти вещи и перейдём к точному естествознанию, считая временно классический аппарат истиной.

Фёдор. Проблема математического естествознания заключается в приложимости к временной  и текущей действительности математического аппарата. Конечно, реально мы могли бы применять только аппарат, описанный здесь (интуиционистские арифметику и анализ), да то с некоторой неуверенностью в нём. Но как показала античная наука, у такого подхода есть жёсткие границы. Наша попытка уподобиться Богу-творцу открыла гораздо более широкие возможности.

Михаил. Вопрос о применении классического аппарата, может быть, и решится положительно. Но трудности ведь возникают уже гораздо раньше.

Фёдор. Да. При использовании целых чисел. Применяя математику, мы должны иметь возможность отождествить арифметический мир с его застывшими предметами и свободно оперирующим ими субъектом с чем-то реальным. И ещё более сложные вопросы возникают при применении анализа. Здесь в принципе измеряемая величина должна измеряться вещественными числами. При первом подходе мы бы потребовали, чтобы результаты измерений (для дискретного) или то, к чему приближаются наши измерения (для непрерывного) не зависели бы от времени, но более опытная и более изощрённая наука уже не может на такое надеяться. Она продолжает искать чего-то не зависящего от времени, но это «что-то» теперь формулируется как нечто производное от измерений, как то, что получается сложным образом.

Особую важность приобрела сейчас и более сложная инвариантность. Тождественные опыты, относящиеся к микромиру, не дают одинаковых результатов (даже пренебрегая неточностью измерений), зато имеются определённые статистические закономерности. Так вот, вопрос заключается в независимости такой статистики от времени.

Что можно теперь обо всём этом сказать? То, что вчера мы считали инвариантным, сегодня эту инвариантность утратило, а то, что мы считаем инвариантным сегодня, вполне может пережить такую же утрату завтра. В целом инвариантные законы и константы охватывают постоянно расширяющийся человеческий опыт, но считать что-либо из входящего в сегодняшнюю картину мира априорно вечным, у нас всё же нет оснований.

Может быть, это понимали и в XIX-ом веке; близкие мысли высказывал Бутру. Но сейчас у нас появились новые соображения, связанные с космогонической картиной.

Михаил. А можно ли развёртывать скептическую программу, ссылаясь на научные концепции.

Фёдор. Количество того, что мы можем предсказать или понять на основании чего-то другого, пусть, в конечном счёте, и не несомненного, возрастает. А ведь несомненных доводов у нас в распоряжении нет. Поэтому мы обращаемся к текущей картине мира. Нам ведь больше и некуда обратиться, кроме разве аргумента уверенности в личной смерти, о котором мы говорили.

Так вот теория большого взрыва рисует нам картину остывающей Вселенной, в которой по мере остывания происходит рождение различных элементарных частиц, из которых образуются миры. Первоначально считалось, что виды сил, действующих в этой развивающейся Вселенной, нам известны и исчерпываются четырьмя – силы гравитации, электромагнетизма, сильного и слабого взаимодействия. Но теория Вайсберга и Салама объясняет электромагнитные и слабые взаимодействия как феномен некоторого распада первоначально существовавшего электрослабого взаимодействия, распада, ставшего возможным в силу остывания Вселенной. Сейчас сформулирована, но ещё, может быть, не подтверждена экспериментально обобщающая теория, которая к этим двум родам сил присоединяет ещё силы сильного взаимодействия.

Таким образом, даже наше выделение определённого вида взаимодействий элементарных частиц не может считаться вечной истиной. Такое взаимодействие – остаток от прежнего единого взаимодействия. Разумеется, распадение электрослабого взаимодействия, о котором шла речь, само происходит по каким-то, как кажется, угаданным или подобранным законам, которые уже с современной точки зрения вечны. Если бы эти последние законы не были бы угаданы. То не было бы и науки. Но всё это открывает возможность неограниченного признания временными по характеру тех или иных (или даже и всех в принципе, но не одновременно, иначе не осталось бы науки) вечных на сегодняшний день законов.

Мы должны взвесить, есть ли у нас основания признавать отсутствие вечности вообще.  В ходе беседы мы пришли к такому уточнению – речь идёт не о вечности чего-то гибельного и хаотичного, но о вечности как о преодолении времени и его разрушительности чем-то организованным, какой-то «усией», как говорили греки. У нас заведомо нет оснований признавать ложность противоположного. Всё, претендующее на вечность, может быть подвергнуто сомнению. Но из этого отнюдь не следует наше положение.

Единственное, чем можем мы его подкрепить, это нашей уверенностью в своей собственной смерти. Уверенность эта безусловна, а все попытки её доказать носят вероятный, даже очень вероятный характер, но не достигают меры нашей уверенности. Несмотря на ослабление организма в старости, смерть не представляется неизбежной. Фактически она происходит, когда организм не выдерживает борьбы за жизнь и всегда зависит от каких-то привходящих причин. То есть в любой данный момент, если нет никаких чрезвычайных обстоятельств, она может случиться, а может и не случиться. Если жизнь продлевают и делают её всё более продолжительной, то почему не смогут её сделать бесконечной?

Но уверенность в смерти говорит нам, что это не так. И она не может назвать своих логических оснований. Она просто дана нам вместе с пониманием жизни и бытия, хотя неверно сказать, что её кто-то нам дал.

Эта уверенность в смерти давно нашла своё обобщение в тезисе Ксенофана о том, что всё рождённое обречено на смерть. И он тоже должен быть принят. Хотя и не с такой твёрдостью, как личная смерть, потому что мы плохо чувствуем границы активной, чувствующей саму себя жизни. Заманчивы попытки считать жизнь в той или иной форме универсальной и мы имеем право на такую гипотезу, тем более, что без гипотез вообще нам не обойтись. И всё же на мой взгляд лучше рассматривать оба варианта – всеобщую одушевлённость и существование неодушевлённого существа. Впрочем, второй вариант распадается на два – жизнь либо возникает из безжизненного вещества, либо существует вечно. На мой взгляд – и здесь я согласен с Жанной – жизнь существует вечно, или, чтобы дать этому более точный смысл, она существовала во все времена, воскрешаемые нашими попытками реконструировать прошлое и характеризуемые различной мерой неопределённости, а именно различной энергией движения. Но я не могу отрицать и существования неживого вещества во все эти времена.

Какой довод я могу выдвинуть? Старинный как мир. Попытки создать что-то из неживого вещества дают снова неживое вещество. Конечно, здесь важно, как именно мы понимаем жизнь. Если мы понимаем её функционально, то XX-ый век доказал, что, коль скоро функция получила точное описание, она имитируется в неживом. Но у нас есть некое самоощущение, и мы можем распознать или хотя бы угадать его в других людях и даже у животных. С другой же стороны, сколько бы роботы ни толковали нам о своей душевной жизни, мы никогда не поверим им, зная, что они всего лишь роботы. Значит, жизнь животных отличается от безжизненности. А родство генетического устройства распространяет это отличие и на другие живые царства.

В жизни всегда есть момент распоряжения неживым или даже вообще другим, включая иные живые существа. На высших ступенях мы ощущаем это как свободу распоряжения, причём ей наделён не один только человек. Во всяком случае жизнь ускользает от точного структурного или даже функционального описания. Поэтому её вечность сродни вечности хаотичности. Особенно если вспомнить, то проникновение Хаоса в текущую жизнь, о котором говорила нам Жанна.

Но к чему я веду? – Хотя жизнь создаёт организмы, являющиеся чудесами организации, сама она стоит над ними и к организованности не сводится. Поэтому мы можем утверждать смертность всего живого, но признавать при этом вечность самой жизни.

Ну, а теперь вернёмся к основному. У нас нет средств для решения той метафизической проблемы, которой мы занимаемся. Даже если мы примем смертность всего индивидуального. Отсюда ещё не будет следовать смертности (или лучше – преходящести) законов сохранения. В эту сторону мы получили как бы намёк, но это только намёк, хотя я не собираюсь отрицать его важности. Да когда мы пробираемся к начальной точке Большого Взрыва, понимание возможно только за счёт законообразности, что, видимо, равнозначно какому-то сохранению. Сниматься законообразность может только в недостижимой начальной точке, как мне кажется, тождественной Хаосу Жанны. Она вне экспериментальной науки и её методов. Той дополнительной уверенности, которую мы черпаем из преходящести индивидуального, здесь не хватает. Законы сохранения, может быть, тоже имеют за собою что-то индивидуальное, но это не прощупывается просто так. Но мы имеем право на метафизическую гипотезу, имеем право на то, чтобы мыслить мироздание в её свете. На этом, может быть, и стоит остановиться.

Вторая гипотеза заключается в следующем. В человеческой жизни, а равно в жизни высших животных мы наблюдаем целенаправленные действия. Конечно, масштаб и спектр этих действий развёртываются в полную мощь именно у человека. Однако, целесообразность как таковая распространяется на все жизненные явления независимо от того, можем ли мы говорить о каком-то, пусть даже самом элементарном сознании. Дарвиновская биология объяснит это системой инстинктов, выработанных в результате естественного отбора, или чем-то сходным для растительного и иных царств. Но во всяком случае эта бессознательная целесообразность является распознаваемым фактом и биологи после конкретного анализа полагают, что целью является неопределенное продолжение существования организмов. Впрочем, старение и ослабление организмов можно истолковать как выполнение другой цели – цели расчистки дороги молодым поколениям и тем самым сохранения и укрепления видовой жизни.

Общая  цель этой биологической целесообразности – сохранение на неопределённое время, если не индивидуальной, то видовой жизни. Можно говорить и о жизни вообще, но тогда нужно подразумевать развитие таких устойчивых её форм, которые дают самой жизни всё большую и большую устойчивость. Вообще, как кажется, говоря теперь об эволюции в целом, мы всё время имеем дело не только с удовлетворённостью уже достигнутым, но и с постоянной неудовлетворённостью, откуда рождаются всё новые и новые формы. Опять же, обращаясь к языку Жанны, можно, наверное, сказать, что Хаос ищет всё более полного воплощения или всё более полной индивидуализации, а потому и происходит безостановочное развитие. Ещё по-другому: уже найденное воплощение оказывается погружённым в Хаос ещё первобытный и разрушительный, возникает необходимость гибели старых форм и рождения новых. Но ты хочешь что-то сказать, Илья?

Илья. Да хотелось бы кое-что уточнить. Мы с одной стороны говорим о стремлении к продлению на неопределённое время чего-то уже сложившегося, о стремлении избежать разрушения и гибели. С другой же стороны, о поиске новых форм, естественно связанным с отказом от старых, а значит и с их гибелью. Что это – разные стороны одного и того же устремления или же их следует приписать, так сказать к разным субъектам.

Фёдор. Стремление к вечному продолжению существования идёт от того, что уже обрело такую индивидуальность, что ищет превращения существования в бытие. Что же касается поиска нового, то им занято скорее внедряющееся в существование, то, что молодо и полно сил. Ему свойственна неопределённость. Это его сила, но в то же время и нечто, подлежащее преодолению. Это второе стремление, вообще говоря, ближе к истокам, чем к завершению. Наверное, Жанна скажет здесь что-нибудь более интересное.

Жанна. Два стремления в конечном счёте принадлежат к одному и тому же. Хаос ищет воплощения, индивидуализации и бытия. В найденном он стремится остановиться, и отсюда стремления этого найденного к продолжению существования. Но Хаос как целое завершённости достичь не может – иначе он перестал бы быть Хаосом и застыл бы в бесплодной вечности, красоте для никого. Отсюда и рождается хаотическое разрушение созданного, смерть найденного, локальный или почти мировой пожар. Что-то справедливое было в интуиции греческой физиологии и Стои, когда они говорили о таком пожаре. Но сейчас – при нашем знании Земли и Вселенной – мы более склонны думать о пожарах гигантских, но всё-таки локальных. После того, как пламя притихнет, в неведомых нам и глухих пустошах бурно пробиваются новые ростки. Такой была и органическая эволюция, такой является и человеческая история.

Впрочем, я немного заговорилась. Пора вернуть слово Мише.

Михаил. Да и я подошёл к концу своих рассуждений. Нужно вернуться от общей эволюции к человеку. У него тяга стабильности становится сознательной тягой к вечности. Жанна прибавит, наверное, что такую возможность даёт интенсивное присутствие Хаоса в сознании и мышлении человека, причём Хаоса не индивидуализированного, активно сохраняющего свою природу (кстати, эти мои слова следует понимать не терминологически, а метафорически). Так возникает противоположение временного и вечного, являющееся центральным в Западной и индийской мысли, да и в Китае занимающее почётное место. Возникает стремление к вечности, и это стремление определяет формы самого познания. По сути дела кантовский познавательный априоризм и сводится к этому стремлению к увековечиванию.

Мы можем усмотреть здесь форму уже отмеченного дуализма. Индивидуальное стремится себя увековечить, приноравливаясь к постоянству своего окружения и, прежде всего, предполагая это постоянство. И так же человечество выискивает постоянство в масштабах уже всей Вселенной. Но с другой стороны, рождение и развитие индивидуальности, связанное с катастрофическими бурями, всё время всплескивает новыми волнами. И это ломает и обновляет уже, казалось бы, усвоенную и устоявшуюся мировую картину. Устроение в конце концов является устроением для чего-нибудь, и оно по необходимости должно измениться, когда меняется то, что им владеет. Это лежит в самом мироустройстве, и это перетряхивает наше познание.

Устойчивость, в пределе – вечная устойчивость, является вечной потребностью и существования, и познания, хотя она вечно недостижима и только манит за собой, а в конце концов может оказаться и миражом. Впрочем, в коротких временных пределах (в жизни последовательных поколений или космических масштабах) она даёт процветание и познание, кажущиеся каким-то конечным исполнением.

Итак, я, пожалуй, кончил свой обзор. Или кто-нибудь хочет задать мне вопрос?

Илья. Да; у меня давно такой вопрос на языке. У тебя мелькала мысль о существовании возможности двух видов. Ты мог бы разъяснить получше разницу между ними и природу каждой из них.

Фёдор. Как мне представляется, сейчас можно предложить понимание, ориентированное на человека. Первая возможность – это то, что может быть создано человеком или хотя бы проконтролировано им, причём не обязательно реально, но, так сказать, в принципе. Со второй же возможностью мы имеем дело тогда, когда в принципе не можем своими силами её опровергнуть и можем только ожидать опровержения, как некоего подарка. Так вот бывает, когда мы подозреваем возможность чего-то безграничного (апейрона). Если нам или нашим отдалённым потомкам встретится граница, то возможность будет снята. Пока же этого нет, мы вправе предполагать безграничность.

Аристотель, правда, утверждая возможность безграничного вообще, изгонял безграничное там, где оно могло быть конкретно предположено, делая исключение только для безграничности времени. Но после Бруно мы стали более осторожны, да постепенно развился и вкус к безграничности. Но что конкретно является безграничным, это определяется не прямым усмотрением, а скорее вкладом, который может внести предположение о бесконечности в общую физическую картину, так что о доказательствах здесь можно говорить только в очень широком смысле слова.

Михаил. Здесь какая-то перекличка с теориями Поппера. Мы принимаем какую-то гипотезу, являющуюся высказыванием о неохватимом или даже бесконечном классе случаев, пока мы не столкнёмся со случаем, который её опровергает.

Фёдор. Действительно, речь идёт об одном и том же. Наш язык, однако, является языком возможностей. Он поэтому, хотя бы формально, имеет более широкий охват. Я хочу заметить, еще что оба вида возможности опредедяются через одну возможность, и она конкретизируется как возможность каких-то человеческих действий.

Михаил.  И здесь мы возвращаемся к началу разговора. Видимо, пора прощаться.